수열

수열(數列, sequence (of numbers))은 자연수 집합, 더 넓게는 가산 전순서 집합을 정의역으로 하는 함수를 말한다. 여기서의 자연수 집합은 보통 0을 포함하는데, 이는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]에서 멱급수 [math]\displaystyle{ \sum a_i x^i }[/math]를 만들 때 변수의 지수(exponentiation)와 수열의 지수(index)앞의 지수와는 다르다! 앞의 지수와는!를 같게 하기 위해서이다. i라고 하면 될 것을 왜 굳이 돌려서

수열의 일반적인 정의

수열은 정의역이 자연수 집합일 뿐, 공역에는 상관하지 않는다. 즉 함수를 나열한 함수열도 수열이고, 행렬을 나열한 행렬렬도 수열이다. 즉 수열 {a_i}의 정의는 다음과 같다:

[math]\displaystyle{ a_\cdot : \; \mathbb N \rightarrow Y. }[/math]

하지만 일반적으로 수열이라 함은 공역이 복소수 범위, 좁게는 실수 범위에 대하여 다룬다. 이는 (곱셈에 대한) 교환, 결합법칙이 만족하는, 다루기 쉬운 가환군이기 때문이다.

수열은 순서쌍의 형태로도 나타낼 수 있으며, (정의역이 무한집합이기 때문에) [math]\displaystyle{ Y^\omega }[/math]의 원소로 표현한다. 즉

[math]\displaystyle{ \{a_n\} \in Y^\omega }[/math]

이다.

각각의 함숫값 a_i을 제 i-항(i-th term)이라고 하며, 이를 모든 정의역의 원소 n에 대하여 나타낸 것을 일반항(general term)이라고 한다. 보통 수열을 표기할 때는 중괄호 (또는 소괄호) 안에 일반항, 또는 원소를 나열하여 표기한다.

수열의 극한

공역이 실수인 실수열에서는 엡실론-델타 논법 델타가 아닌데?을 사용하여 함수의 극한을 정의한다. 즉 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 실수열일 때 모든 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여, [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ |a_n -a|\lt \epsilon }[/math]이 성립하는 [math]\displaystyle{ a \in \mathbb{R} }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n \} }[/math]의 극한이다.

이를 확장하면 복소수열, 더 나아가 거리공간에까지 확장할 수 있다. [math]\displaystyle{ |a_n -a| }[/math]를 [math]\displaystyle{ a_n }[/math]과 [math]\displaystyle{ a }[/math] 사이의 거리라고 생각하면, 다음과 같이 일반화할 수 있다:

[math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 거리함수(metric) [math]\displaystyle{ d }[/math]를 가지는 거리공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서의 수열이라 하자. 모든 [math]\displaystyle{ \epsilon \gt 0 }[/math]에 대해서 [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여, [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ d(a_n,a) \lt \epsilon }[/math]이 성립하는 [math]\displaystyle{ a\in X }[/math]가 존재하면 [math]\displaystyle{ a }[/math]는 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 극한이다.

또한 거리함수를 근방(neighborhood)으로 바꾸면 위상공간에까지 확장 가능하다:

[math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 위상공간 [math]\displaystyle{ X }[/math]에서의 수열이라 하자. 어떤 [math]\displaystyle{ a \in X }[/math]와 그 임의의 근방 [math]\displaystyle{ N_a }[/math]가 있고, [math]\displaystyle{ N \in \mathbb N }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ (n \in \mathbb N) \ge N }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ a_n\in N_a }[/math]이면 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 극한이라고 한다.

고만해, 미친놈들아!

유계

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 위로 유계(bounded above)라는 것은 모든[math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \le A }[/math]인 [math]\displaystyle{ A \in \mathbb R }[/math]이 존재하는 것이다. 이 때 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 상계(upper bound)라고 한다. 가장 작은 상계를 최소 상계(least upper bound)라고 한다.

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 아래로 유계(bounded below)라는 것은 모든[math]\displaystyle{ n \in \mathbb N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge A }[/math]인 [math]\displaystyle{ A \in \mathbb R }[/math]이 존재하는 것이다. 이 때 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 하계(lower bound)라고 한다. 가장 큰 하계를 최대 하계(greatest lower bound)라고 한다.

수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} : \; \mathbb N \rightarrow \mathbb R }[/math]가 위로 유계이면서 아래로 유계일 때 수열은 유계(bounded)라고 하고, 유계가 아닌 수열을 비유계(unbounded)라고 한다.