닮음

Similarity

개요

사전적인 의미는 어떤 두 물체가 비슷한 것. 이 문서에서는 기하학의 닮음에 대해 설명한다. 어떤 두 도형이 서로 닮았다는 말은, 두 도형의 생김새가 비슷하다는 것이다. 그러니까 똑같이 변이 몇 개, 각도도 전부 같고, 기타 등등. 이건 직관적인 정의이며, 수학적으로 조금 더 엄밀한 정의는, 한 도형을 확대/축소, 대칭, 평행 이동시켜 다른 도형과 완전히 겹치게, 즉 합동이 되게 만들 수 있다면 두 도형은 서로 닮았다고 얘기한다.

닮음을 기호로 나타내면 [math]\displaystyle{ \sim }[/math]이다. Similar의 S를 옆으로 눕힌 모양.

성질

1. 합동인 두 도형은 서로 닮았다.
2. 닮음인 두 도형의 대응되는 각은 크기가 같다.
3. 닮음인 두 도형의 대응되는 변의 길이의 비는 항상 일정하다.

삼각형

학교에서 집중적으로 배우는 도형의 닮음은 바로 삼각형이다. 두 삼각형이 닮기 위해서는 아래 세 조건 중 하나만 만족하면 된다.

1. 세 변의 길이의 비가 같다 (SSS 닮음).
2. 두 변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같다 (SAS 닮음).
3. 두 각의 크기가 같다 (AA 닮음).

가장 많이 쓰게 될 닮음은 AA 닮음이다. 하지만 난이도가 있는 문제에서는 뜬금없이 SAS 닮음 같은걸 내 학생들을 괴롭히니 세 조건 모두 다 알아놓자. 특히 SAS 닮음의 조건은 유클리드의 평행선 공준을 대체할 수 있다는 것이 알려져 있다.

삼각형의 닮음은 아래 다른 닮음과는 달리 유클리드 기하학에서 지겹도록 우려먹는다.보조선 긋고, 닮음 찾고, 길이비 구하고, 각도 찾고의 반복.

다각형

삼각형과는 달리, 사각형 부터는 간단한 닮음 조건이 존재하지 않는다. 각의 크기만 생각하면 직사각형이라는 반례가 있으며, 변의 비만 생각하면 마름모라는 반례가 있다. 따라서 어떤 두 다각형이 닮음이기 위해서는 대응하는 각의 크기가 모두 같고, 대응하는 변의 길이의 비가 항상 일정해야 한다.

곡선

원의 경우는 반지름에 상관 없이 항상 닮음이다. 또한, 의외라고 생각할지 모르지만 포물선도 전부 닮음이다. 간혹 참고서에서 [math]\displaystyle{ y=ax^2 }[/math]의 [math]\displaystyle{ a }[/math]값에 따라 포물선의 모양이 달라진다고 서술되어 있는 경우가 있는데, 틀렸다.

타원과 쌍곡선은 항상 닮음은 아니다. 이심률이 같아야 닮음이다. 혹시 눈치를 챈 사람이 있을지 모르지만, 모든 이차곡선은 이심률이 같을 때 닮음이다. 원과 포물선은 이심률이 고정되어 있으므로 항상 닮음이라는 것이 설명된다.