마방진(魔方陣, Magic Square)은 각 원소가 n2의 수로 이루어져 있고, 각 행의 원소의 합과 각 열의 원소의 합, 그리고 주대각선에서의 n개의 원소의 합이 모두 같은 n×n 정사각행렬을 의미한다. 원소의 조건은 n2의 연속된 숫자를 의미하는 경우가 많으나 상황에 따라 다른 것을 의미할 수도 있다.
마방진의 개수[편집 | 원본 편집]
1차 마방진은 1 하나의 원소로 된 마방진이며, 2차 마방진은 존재하지 않는다. 3차 마방진은 회전과 대칭이동에 의한 변환을 동일한 것으로 취급할 때 아래에서 언급하는 중국의 로슈방진(Lo Shu Square) 하나뿐이다. 4차 마방진은 회전/대칭이동의 변환에 대해 880가지의 서로 다른 배열이 있다. 5차 마방진은 275,305,224가지 배열이 있으며, 6차 마방진은 1.775 × 1019개 내외가 있다고 추정된다.[1] (OEIS의 수열 A006052) 2023년 일본의 야마나시 대학 명예교수 미노 히데요시가 6차 마방진은17,753,889,189,701,385,264개라고 발표했고 검산중이다. [2]
역사[편집 | 원본 편집]
마방진은 중국에서 적어도 기원전 7세기부터 알려져 있었고, AD 570년에 처음으로 기록이 남겨져 있다. 또한 5차 마방진과 6차 마방진은 10세기경 이슬람권에서 존재가 알려져 있다.
가장 유명한 마방진은 바로 3*3마방진인 로슈 사각형(Lo Shu Square, wikipedia:Lo Shu Square)이다. 아래와 같은 배열로 구성되어 있다.
2 | 9 | 4 |
7 | 5 | 3 |
6 | 1 | 8 |
유럽[편집 | 원본 편집]
1300년경 비잔틴 제국의 수학자 마누엘 모스코푸로스(Manuel Moschopoulos)가 마방진에 대해서 언급하였다.
1514년 알브레히트 뒤러(wikipedia:Albrecht Dürer)의 작품 멜랑꼴리아(Melencolia I.)에 4차 마방진이 새겨져 있는데 절묘하게도 아랫줄 가운데 두 숫자 15,14가 작품의 제작년도를 나타낸다.
1510년 신비주의 작가인 하인리히 코넬리우스 아그리파(wikipedia:Heinrich Cornelius Agrippa)는 그의 저서 De Occulta Philosophia에서 은둔자와 Marsilio Ficino와 Pico della Mirandola의 경이로운 일에 대해 서술하였다. 1531년 개정판에서는 당시에 알려진 행성과 3*3에서 9*9까지의 마방진을 다음과 같이 연계해서 묘사하였다. 참고로 행성의 순서는 프톨레마이오스의 천동설 기준으로 행성의 배열 순서(먼 행성에서 가까운 행성으로)과 일치한다.
토성=15 | ||
---|---|---|
4 | 9 | 2 |
3 | 5 | 7 |
8 | 1 | 6 |
목성=34 | |||
---|---|---|---|
4 | 14 | 15 | 1 |
9 | 7 | 6 | 12 |
5 | 11 | 10 | 8 |
16 | 2 | 3 | 13 |
화성=65 | ||||
---|---|---|---|---|
11 | 24 | 7 | 20 | 3 |
4 | 12 | 25 | 8 | 16 |
17 | 5 | 13 | 21 | 9 |
10 | 18 | 1 | 14 | 22 |
23 | 6 | 19 | 2 | 15 |
태양=111 | |||||
---|---|---|---|---|---|
6 | 32 | 3 | 34 | 35 | 1 |
7 | 11 | 27 | 28 | 8 | 30 |
19 | 14 | 16 | 15 | 23 | 24 |
18 | 20 | 22 | 21 | 17 | 13 |
25 | 29 | 10 | 9 | 26 | 12 |
36 | 5 | 33 | 4 | 2 | 31 |
금성=175 | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
22 | 47 | 16 | 41 | 10 | 35 | 4 |
5 | 23 | 48 | 17 | 42 | 11 | 29 |
30 | 6 | 24 | 49 | 18 | 36 | 12 |
13 | 31 | 7 | 25 | 43 | 19 | 37 |
38 | 14 | 32 | 1 | 26 | 44 | 20 |
21 | 39 | 8 | 33 | 2 | 27 | 45 |
46 | 15 | 40 | 9 | 34 | 3 | 28 |
수성=260 | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
8 | 58 | 59 | 5 | 4 | 62 | 63 | 1 |
49 | 15 | 14 | 52 | 53 | 11 | 10 | 56 |
41 | 23 | 22 | 44 | 45 | 19 | 18 | 48 |
32 | 34 | 35 | 29 | 28 | 38 | 39 | 25 |
40 | 26 | 27 | 37 | 36 | 30 | 31 | 33 |
17 | 47 | 46 | 20 | 21 | 43 | 42 | 24 |
9 | 55 | 54 | 12 | 13 | 51 | 50 | 16 |
64 | 2 | 3 | 61 | 60 | 6 | 7 | 57 |
달=369 | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
37 | 78 | 29 | 70 | 21 | 62 | 13 | 54 | 5 |
6 | 38 | 79 | 30 | 71 | 22 | 63 | 14 | 46 |
47 | 7 | 39 | 80 | 31 | 72 | 23 | 55 | 15 |
16 | 48 | 8 | 40 | 81 | 32 | 64 | 24 | 56 |
57 | 17 | 49 | 9 | 41 | 73 | 33 | 65 | 25 |
26 | 58 | 18 | 50 | 1 | 42 | 74 | 34 | 66 |
67 | 27 | 59 | 10 | 51 | 2 | 43 | 75 | 35 |
36 | 68 | 19 | 60 | 11 | 52 | 3 | 44 | 76 |
77 | 28 | 69 | 20 | 61 | 12 | 53 | 4 | 45 |
마방진 모음
마방진의 종류[편집 | 원본 편집]
보통 마방진은 행, 열, 그리고 주대각선(main diagonal)에 있는 n개의 원소의 합이 일정한 행렬을 의미한다. 우선 1부터 n2까지의 원소의 합은 n2(n2 +1)/2이고, 따라서 각 행/열의 합은 n(n2 +1)/2가 성립한다.
1부터 n2까지 숫자를 가진 n×n 방진 중에서 각 행과 열의 합이 동일하기만 하면 준마방진(semimagic square)라고 부르며, 주대각선 n개의 원소의 합이 동일할 때 일반적인 마방진이 된다.
마방진 중에서 좀 더 강력하게 주대각선이 아닌 끊긴 대각선의 원소들의 합 [math]\displaystyle{ \{a_{i,c+i}:i=1,\cdot\cdot\cdot n\}, \{a_{i,n+c-i}: i=1,\cdot\cdot\cdot ,n\} }[/math](여기서 c는 0 이상의 상수, i+c>n 또는 n+c-i>n이면 n을 빼준다.)까지도 모두 같으면 완전대각방진(Panmagic Square 혹은 Diabolic Magic square)이라고 부른다. 특이하게도 n=3이거나 n=4k+2꼴일 때에는 완전대각방진이 존재하지 않은 것으로 알려져 있다. (참조 : Wikipedia:Panmagic square)
완전마방진 중에서도 임의의 상수 c,d에 대해 2x2 부분행렬 [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a_ij & a_{i,j+c} \\ a_{i+d,j} & a_{i+d, j+c} \end{pmatrix} }[/math]의 원소의 합이 2n2+2까지 만족하는 마방진을 Most-perfect Magic square(해석하면 가장 완벽한 마방진)이라고 부른다. (참조: Wikipedia:Most-perfect magic squre)
마방진 중에서도 2 이상의 자연수 p에 대해서 각 원소를 p제곱한 원소들을 모아도 마방진을 이룰 경우 p-제곱 마방진(p-multimagic square)라고 부른다.
다른 조건으로 각 행의 원소의 합, 각 열의 원소의 합, 그리고 두 대각선의 원소의 합을 나열할 때 서로 다른 2n+2개의 연속된 자연수로 나열되는 경우를 반마방진(Antimagic Square)이라고 부른다. (참조 : Wikipedia:Antimagic square)
마방진을 만드는 방법[편집 | 원본 편집]
홀수 방진[편집 | 원본 편집]
n*n 마방진을 만드는 가장 간단한 방법은 다음과 같다. 이 방법은 아래에서 설명하는 방법의 특수한 경우라 할 수 있다.
- 우선 맨 윗줄 가운데에 1을 적는다.
- 그 다음 오른쪽 칸의 맨 아랫줄에 2를 적는다.
- 그 다음에 2의 오른쪽/위쪽 1칸 대각선 방향에 3을 적는다. 마찬가지로 4~n까지 숫자가 1개씩 커질 때마다 오른쪽/위쪽 1칸 대각선 방향으로 적는다. 만일 k가 맨 오른쪽 칸에 있을 경우 k+1은 한 줄 위의 맨 왼쪽 칸으로 이동한다.
- 대각선 방향으로 계속 가면 n+1의 위치는 1과 겹친다. 이 때 n+1은 n의 한 칸 아래칸에 적는다.
- 1~3번과 같은 방법으로 n+1~2n까지 숫자들은 1씩 커질 때마다 오른쪽/위쪽 1칸 대각선씩 옮겨서 적는다. 역시 k가 맨 윗줄의 숫자인 경우 다음 숫자는 맨 아랫줄의 오른쪽 1칸으로, 맨 오른쪽의 숫자의 경우 다음 숫자는 1줄 위의 맨 왼쪽 칸으로 옮겨서 적는다.
- 2n+1 역시 n+1과 마찬가지로 2n 한 칸 아래에 적는다. 5번처럼 2n+1~3n의 숫자들을 대각선 ↗방향으로 1칸씩 옮겨가면서 적는다. 마찬가지로 3n+1도 3n의 한 칸 아래에 적고, 3n+1~4n도 마찬가지 방법으로 대각선 방향으로 옮겨가면서 적는다.
- 6의 과정을 모든 n2개의 칸이 채워질 때까지 적는다.
위와 같은 방법으로 5×5 마방진을 만들 수 있다. 편의상 (k-1)n+1에서 kn까지의 숫자들은 모두 같은 색으로 칠한다.
17 | 24 | 1 | 8 | 15 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 |
4 | 6 | 13 | 20 | 22 |
10 | 12 | 19 | 21 | 3 |
11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
일반화된 방법과 완전대각방진 만들기[편집 | 원본 편집]
원소를 증가시키는 방법을 대각선/아랫칸 내리기를 이용하지 않고 다른 간격으로 움직이게 할 수 있다. 여기서 중요한 것은 어떠한 경우에도 중간값이 정중앙에 오게 해야 한다는 것이다. 특히 한 변의 칸의 개수가 6n±1개라면 이것을 이용해서 완전대각방진을 만들 수 있다. 위의 문서를 참조할 것. 여기서는 결과물만 제시한다.
25 | 3 | 6 | 14 | 17 |
11 | 19 | 22 | 5 | 8 |
2 | 10 | 13 | 16 | 24 |
18 | 21 | 4 | 7 | 15 |
9 | 12 | 20 | 23 | 1 |
49 | 23 | 4 | 34 | 8 | 38 | 19 |
11 | 41 | 15 | 45 | 26 | 7 | 30 |
22 | 3 | 33 | 14 | 37 | 18 | 48 |
40 | 21 | 44 | 25 | 6 | 29 | 10 |
2 | 32 | 13 | 36 | 17 | 47 | 28 |
20 | 43 | 24 | 5 | 35 | 9 | 39 |
31 | 12 | 42 | 16 | 46 | 27 | 1 |
(6n+3)*(6n+3) 완전대각방진은 위와 같은 방법으로 만들 수 없다. 자세한 내용은 위의 내용을 참조할 것. [3] 역시 여기서도 결과물 하나만 제시한다.
4n형태[편집 | 원본 편집]
우선 4n*4n 마방진을 푸는 방법은 다음과 같다.
- 우선 모든 칸은 4*4로 나눈다. 즉 12*12 마방진은 가로/세로 3*3칸씩으로 나눈다.
- 그 다음에 아래와 같이 칸을 흑/백으로 칠한다.
1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 |
- 다음에 1로 칠해진 칸은 1~n2를 적는다. 왼쪽 위에서 오른쪽으로 1씩 올려가면서 적은 뒤에 한 줄이 채워지면 아랫줄을 채운다. 4*4 마방진의 경우는 다음과 같다.
1 | 4 | ||
6 | 7 | ||
10 | 11 | ||
13 | 16 |
- 나머지 하얀색 빈 칸의 경우는 오른쪽 아랫칸을 1로 잡고, 왼쪽으로/윗줄로 올라가면서 1씩 큰 숫자를 적는다. 위에서 검은색 칸은 점대칭도형이기 때문에 (a,b)가 검은 칸일 경우 (n+1-a,n+1-b)가 검은 칸이 된다. 따라서 k가 검은 칸이면 n2+1-k도 검은칸이므로 하얀색 칸의 숫자는 검은색 칸의 숫자와 겹치지 않는다.
1 | 15 | 14 | 4 |
12 | 6 | 7 | 9 |
8 | 10 | 11 | 5 |
13 | 3 | 2 | 16 |
- 간단히 증명하는 방법이 있다. 우선 검은색 칸은 (행,열) 번호를 붙인다. 그 다음에 흰색 칸에는 (n+1-행, n+1-열)의 값을 적는다. 그러면 각 행/열/주대각선 n개 원소의 합은 정확히 (n(n+1)/2, n(n+1)/2)가 된다는 것을 알 수 있다.
(1,1) | (4,4) | (4,1) | (1,4) |
(3,4) | (2,2) | (2,3) | (3,1) |
(2,4) | (3,2) | (3,3) | (2,1) |
(4,1) | (1,3) | (1,2) | (4,4) |
- 8*8 마방진도 이와 유사하게 만들 수 있다.
1 | 2 | 62 | 61 | 60 | 59 | 7 | 8 |
9 | 10 | 54 | 53 | 52 | 51 | 15 | 16 |
48 | 47 | 19 | 20 | 21 | 22 | 42 | 41 |
40 | 39 | 27 | 28 | 29 | 30 | 34 | 33 |
32 | 31 | 35 | 36 | 37 | 38 | 26 | 25 |
24 | 23 | 43 | 44 | 45 | 46 | 18 | 17 |
49 | 50 | 14 | 13 | 12 | 11 | 55 | 56 |
57 | 58 | 6 | 5 | 4 | 3 | 63 | 64 |
- 또는 아래의 4*4흑/백 패턴을 이용해 4n*4n 칸을 채우는 흑/백 패턴을 만든 뒤에 흑색 칸은 왼쪽 위부터 오른쪽으로 1식 키우면서 순서대로 채우고 백색 칸은 오른쪽 아래부터 시작해서 왼쪽으로 1씩 키우면서 순서대로 채워서도 만들 수 있다. 다른 8*8 마방진은 만들 수 있다. 여기서 중요한 것은 이 흑/백 패턴이 반드시 점대칭이어야한다는 것이다.
1 | 63 | 62 | 4 | 60 | 6 | 7 | 57 |
56 | 10 | 11 | 53 | 13 | 51 | 50 | 16 |
48 | 18 | 19 | 45 | 21 | 43 | 42 | 24 |
25 | 47 | 46 | 28 | 36 | 30 | 31 | 33 |
32 | 34 | 35 | 29 | 37 | 27 | 26 | 40 |
41 | 23 | 22 | 44 | 20 | 46 | 47 | 17 |
49 | 15 | 14 | 52 | 12 | 54 | 55 | 9 |
8 | 58 | 59 | 5 | 61 | 3 | 2 | 64 |
완전대각 방진[편집 | 원본 편집]
완전대각방진을 만들기 위해서는 위의 방법과는 다른 방법을 사용해야 한다. 위의 본문을 참조할 것. [4] 역시 결과만 올리겠다.
33 | 26 | 35 | 28 | 40 | 31 | 38 | 29 |
48 | 23 | 46 | 21 | 41 | 18 | 43 | 20 |
49 | 10 | 51 | 12 | 56 | 15 | 54 | 13 |
64 | 7 | 62 | 5 | 57 | 2 | 59 | 4 |
25 | 34 | 27 | 36 | 32 | 39 | 30 | 37 |
24 | 47 | 22 | 45 | 17 | 42 | 19 | 44 |
9 | 50 | 11 | 52 | 16 | 55 | 14 | 53 |
8 | 63 | 6 | 61 | 1 | 58 | 3 | 60 |
가장 완벽한 마방진[편집 | 원본 편집]
아래 마방진은 가장 완벽한 4*4 마방진(The most perfect magic square)이 된다. 규칙성을 살펴보면 다음과 같다. 편의상 합하게 되는 숫자의 묶음을 같은 배경색으로 칠한다.
3 | 6 | 12 | 13 |
16 | 9 | 7 | 2 |
5 | 4 | 14 | 11 |
10 | 15 | 1 | 8 |
- 가로줄과 세로줄 상의 모든 원소의 합이 동일하다.
3 | 6 | 12 | 13 | 3 | 6 | 12 | 13 | |
16 | 9 | 7 | 2 | 16 | 9 | 7 | 2 | |
5 | 4 | 14 | 11 | 5 | 4 | 14 | 11 | |
10 | 15 | 1 | 8 | 10 | 15 | 1 | 8 |
- 주대각선/부대각선 상에 있는 모든 원소의 합이 동일하다.
3 | 6 | 12 | 13 | 3 | 6 | 12 | 13 | |
16 | 9 | 7 | 2 | 16 | 9 | 7 | 2 | |
5 | 4 | 14 | 11 | 5 | 4 | 14 | 11 | |
10 | 15 | 1 | 8 | 10 | 15 | 1 | 8 |
- 서로 인접한 사각형 네 개로 구성된 정사각형 내부에서 모든 원소의 합이 동일하다.
3 | 6 | 12 | 13 | 3 | 6 | 12 | 13 | |
16 | 9 | 7 | 2 | 16 | 9 | 7 | 2 | |
5 | 4 | 14 | 11 | 5 | 4 | 14 | 11 | |
10 | 15 | 1 | 8 | 10 | 15 | 1 | 8 |
- (홀,홀) 원소 4개, (홀,짝) 원소 4개, (짝,홀) 원소 4개, 그리고 (짝,짝) 원소 4개의 합이 동일하다.
3 | 6 | 12 | 13 |
16 | 9 | 7 | 2 |
5 | 4 | 14 | 11 |
10 | 15 | 1 | 8 |
4n+2 짝수 마방진[편집 | 원본 편집]
당연히 n=0일 때에는 마방진이 생기지 않는다. 위의 두 경우보다는 다소 복잡하게 나온다. (4n+2)×(4n+2) 마방진을 작성하는 방법은 다음과 같다.
- 우선 (2n+1)×(2n+1) 크기의 네 개의 구역으로 나눈다. 그 다음에 각 구역에 아래와 같이 나눈다.
1 | 4 |
3 | 2 |
- 그다음에 1구역에 (2n+1)×(2n+1) 마방진을 만든다.
8 | 1 | 6 | |||
3 | 5 | 7 | |||
4 | 9 | 2 | |||
- 그 다음에 2구역에는 (2n+1)2+1~2×(2n+1)2까지 숫자를 1구역에 마방진을 만드는 방식과 같은 방식으로 적는다. 마찬가지로 3구역에도 2×(2n+1)2+1~3×(2n+1)2까지, 4구역에도 3×(2n+1)2+1~4×(2n+1)2까지 같은 방식으로 적는다.
8 | 1 | 6 | 35 | 28 | 33 |
3 | 5 | 7 | 30 | 32 | 34 |
4 | 9 | 2 | 31 | 36 | 29 |
26 | 19 | 21 | 17 | 10 | 15 |
21 | 23 | 25 | 12 | 14 | 16 |
22 | 27 | 20 | 13 | 18 | 11 |
- 그 다음에 위의 1/4구역은 구역의 중심칸과 아래 n줄의 숫자를 교환한다. 단 중심줄 바로 아래칸은 교환하지 않는다. 아래 3/2구역은 아래 n-1줄의 숫자를 교환한다.
8 | 1 | 6 | 35 | 28 | 33 |
3 | 32 | 7 | 30 | 5 | 34 |
31 | 9 | 29 | 4 | 36 | 2 |
26 | 19 | 21 | 17 | 10 | 15 |
21 | 23 | 25 | 12 | 14 | 16 |
22 | 27 | 20 | 13 | 18 | 11 |
10*10 마방진도 같은 전략으로 만들 수 있다. 여기서 기울인 글씨가 마지막 단계에서 교환된 칸.
17 | 24 | 1 | 8 | 15 | 92 | 99 | 76 | 83 | 90 |
23 | 5 | 7 | 14 | 16 | 98 | 80 | 82 | 89 | 91 |
4 | 6 | 88 | 20 | 22 | 79 | 81 | 13 | 95 | 97 |
85 | 87 | 19 | 96 | 78 | 10 | 12 | 94 | 21 | 3 |
86 | 93 | 100 | 77 | 84 | 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
67 | 74 | 51 | 58 | 65 | 42 | 49 | 26 | 33 | 40 |
73 | 55 | 57 | 64 | 66 | 48 | 30 | 32 | 39 | 41 |
54 | 56 | 63 | 70 | 72 | 29 | 31 | 38 | 45 | 47 |
60 | 62 | 69 | 71 | 53 | 35 | 37 | 44 | 46 | 28 |
36 | 43 | 50 | 27 | 34 | 61 | 68 | 75 | 52 | 59 |
- 다른 방법으로 LUX 방법이 있다. 이것은 다음과 같은 순서로 배열된 2×2 숫자패턴 L,U,X (2n+1)×(2n+1) 배열을 이용해 배열하는 것이다.
L | U | X | |||||
4 | 1 | 1 | 4 | 1 | 4 | ||
2 | 3 | 2 | 3 | 3 | 2 |
모두 가로의 합은 동일하며 세로의 합은 L은 (좌)=(우)+2, U는 (좌)=(우)-4, X는 (좌)=(우)-2가 성립한다. 따라서 각 세로줄마다 L은 n+1개, U는 1개, X는 n-1개씩 배열하면 직교방진이 성립한다. 또한 대각선은 L은 n개 U 2개, X는 n-1개씩 배열하면 된다.
그 다음에 위의 L,U,X 패턴 위에 (2n+1)×(2n+1) 마방진을 이용해 패턴번호를 붙인다. 우선 패턴 1번이 L로 마크된 경우는 L 모양으로 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&1 \\ 2 &3\end{bmatrix} }[/math]로 적는다. 그 다음에 패턴 2번이 X로 마크된 경우에는 X 모양으로 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 5&8 \\ 7 &6\end{bmatrix} }[/math] 이런 식으로 적는다. 이런 식으로 (2n+1)2 패턴까지 채운다. 그러면 (4n+2)개의 짝수 마방진이 완성된다.
일례로 LUX 패턴을 이용해서 10(=4×2+2)차 마방진을 작성할 수 있다. 우선 아래처럼 5×5 LUX 패턴을 작성하면 각 세로줄에는 L=3, U=X=1임을 확인할 수 있다. 또한 오른쪽의 5차 마방진도 만들 수 있다.
L | L | L | L | L | 17 | 24 | 1 | 8 | 15 | |
L | L | L | L | L | 23 | 5 | 7 | 14 | 16 | |
L | L | U | L | L | 4 | 6 | 13 | 20 | 22 | |
U | U | L | U | U | 10 | 12 | 19 | 21 | 3 | |
X | X | X | X | X | 11 | 18 | 25 | 2 | 9 |
이제 LUX 패턴에 맞추어 마방진을 작성하면 다음과 같이 만들 수 있다.
68 | 65 | 96 | 93 | 4 | 1 | 32 | 29 | 60 | 57 |
66 | 67 | 94 | 95 | 2 | 3 | 30 | 31 | 58 | 59 |
92 | 89 | 20 | 17 | 28 | 25 | 42 | 39 | 64 | 61 |
90 | 91 | 18 | 19 | 26 | 27 | 40 | 41 | 62 | 63 |
16 | 13 | 24 | 21 | 49 | 52 | 80 | 77 | 88 | 85 |
14 | 15 | 22 | 23 | 50 | 51 | 78 | 79 | 86 | 87 |
37 | 40 | 45 | 48 | 76 | 73 | 81 | 84 | 12 | 9 |
38 | 39 | 46 | 47 | 74 | 75 | 82 | 83 | 10 | 11 |
41 | 44 | 69 | 72 | 97 | 100 | 5 | 8 | 33 | 36 |
43 | 42 | 71 | 70 | 99 | 98 | 7 | 6 | 35 | 34 |
마방진의 합성[편집 | 원본 편집]
두 마방진 A, B을 이용해서 크로네커 곱(Kroneker Product)과 유사한 형태의 연산을 이용해서 원소를 생성할 수 있다. 이를 이용해서 전체가 마방진이면서 각 구획도 마방진을 이루는 방진을 이룰 수 있다. 특히 A, B가 완전대각방진(Panmagic Square)이 되면 합성마방진도 완전대각방진이 된다.
예시 - 3×3 마방진과 4×4 마방진의 합성으로 만들어지는 12×12 마방진. 여기서 A=(aij)는 m차 마방진, B=(bij)는 n차 마방진으로 놓을 때 [math]\displaystyle{ A \otimes_M B = \begin{bmatrix} (a_11 -1)I_n + B & (a_12 -1) I_n + B & \cdots & (a_1m -1) I_n + B \\ (a_21 -1)I_n + B & (a_22 -1) I_n + B & \cdots & (a_2m -1) I_n + B \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (a_m1 -1)I_n + B & (a_m2 -1) I_n + B & \cdots & (a_mm -1) I_n + B \end{bmatrix} }[/math]
예시 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 15 & 14 & 4 \\ 12 & 6&7&9 \\ 8 & 10&12&5 \\ 13&3&2&16 \end{bmatrix} \otimes_M \begin{bmatrix} 8 & 1 & 6 \\ 3 & 5& 7 \\ 4&9&2 \end{bmatrix} }[/math]
결과
8 | 1 | 6 | 134 | 127 | 132 | 125 | 118 | 123 | 35 | 28 | 33 |
3 | 5 | 7 | 129 | 131 | 133 | 120 | 122 | 124 | 30 | 32 | 34 |
4 | 9 | 2 | 130 | 135 | 128 | 121 | 126 | 119 | 31 | 36 | 29 |
107 | 100 | 105 | 53 | 46 | 51 | 62 | 55 | 60 | 80 | 73 | 78 |
102 | 104 | 106 | 48 | 50 | 52 | 57 | 59 | 61 | 75 | 77 | 79 |
103 | 108 | 101 | 49 | 54 | 47 | 58 | 63 | 56 | 76 | 81 | 74 |
71 | 64 | 69 | 89 | 82 | 87 | 98 | 91 | 96 | 44 | 37 | 42 |
66 | 68 | 70 | 84 | 86 | 88 | 93 | 95 | 97 | 39 | 41 | 43 |
67 | 72 | 65 | 85 | 90 | 83 | 94 | 99 | 92 | 40 | 45 | 38 |
116 | 109 | 114 | 26 | 19 | 24 | 17 | 10 | 15 | 143 | 136 | 141 |
111 | 113 | 115 | 21 | 23 | 25 | 12 | 14 | 16 | 138 | 140 | 142 |
112 | 117 | 110 | 22 | 27 | 20 | 13 | 18 | 11 | 139 | 144 | 137 |
라틴방진[편집 | 원본 편집]
라틴방진(Latin Square)은 nXn 정사각행렬 중 1부터 n까지 원소가 n개씩 배열되어 있고, 각 행과 열에는 1부터 n까지 하나씩 들어가 있는 방진을 의미한다.
사토르 방진[편집 | 원본 편집]
사토르 방진은 가로로 읽으나 세로로 읽으나 같은 문장이 되는 일종의 마방진이다. 회문이지 사토르 방진을 구성하는 "SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS"에서 유래한 이름이다.
변형된 형태[편집 | 원본 편집]
정사각형 대신에 정육각형 배열로 구성된 Magic Hexagon이 있다.
또한 최석정의 구수략(九數略)에서는 마방진의 변형된 형태가 나온다. 대표적으로 육각형 형태로 숫자가 배열되어 있고, 각 육각형의 숫자들의 합이 일정한 지수귀문도, 십자가 모양의 사각형 모양인 낙서사구도, 방사형 형태의 중상용구도, 마방진+8각형 숫자 배열인 낙서구구도, 팔각형의 합을 구하는 후책용구도가 있다. [5]
별 모양[편집 | 원본 편집]
각 변의 합이 26인 육각 별 모양(Magic Hexagram) 배열은 다음과 같다.
좀 더 일반적으로, 육각별, 칠각별, 팔각별 배열도 존재한다. 단 오각별 배열은 존재하지 않는다.
Magic hexagram M = 26 |
Magic heptagram M = 30 |
Magic octagram M = 34 |
육각형 모양[편집 | 원본 편집]
구수략에 나타난 형태[편집 | 원본 편집]
구수략에서는 지수귀문도, 낙서사구도, 중상용구도, 낙서구구도, 후책용구도 등이 등장한다.
지수귀문도[편집 | 원본 편집]
지수귀문도(地數龜文圖)는 벌집 모양으로 배열된 숫자들이 1부터 1개씩 커지면서 각 육각형의 여섯 꼭짓점의 숫자의 합이 모두 일치하는 형태를 말한다.
관련 문서[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ Loly, Peter. "The invariance of the moment of inertia of magic squares", Mathematical Gazette 88, March 2004, 151–153.
- ↑ [1]
- ↑ 참조 : Wikipedia:Pandiagonal Magic Square
- ↑ 출처 : Wikipedia:Pandiagonal magic square
- ↑ 참조 : 동아사이언스 라이브러리, 300년만에 풀린 최석정의 마법진 (1997년 12월호)