최석정의 구수략에서는 마방진의 변형된 형태인 마법진이 나오는데, 이 문서에서 소개한다. 사각형 형태는 마방진/구수략에서 다룬다.
지수귀문도[편집 | 원본 편집]
이와 관련한 주제는 지수귀문도에서 다룹니다.낙서사구도[편집 | 원본 편집]
위의 그림처럼 십자가 형태의 아홉 개의 사각형이 배열되어 있고, 사각형의 각 꼭짓점에서 이루는 네 수의 합이 모두 같은 마법진을 낙서사구도라고 부른다.
제작 원리는 우선 위의 그림에서 숫자는 모두 20개가 있으므로, 굵은 선의 꼭짓점을 이루는 두 수의 합이 21이 되면 노란색으로 배경칠한 두 사각형을 제외하고 나머지 일곱 개의 사각형의 경우 네 꼭짓점의 수의 합이 42로 자연스럽게 유도된다. 또한 세로의 가운데 부분의 경우 1/2/3/4/5/6을 엇갈려 배치하고, 마찬가지로 21을 기준으로 보수인 19/20/17/18/15/16으로 엇갈려 배치하면 맨 윗줄 가로 두 수의 합은 20, 그 다음 윗줄 가로 두 수의 합은 22, 그 다음 가로 두 수의 합은 20으로 20/22가 번갈아서 나타나게 된다. 따라서 두 노란색 사각형의 경우에도 네 꼭짓점의 숫자의 합이 42가 되어 자연스럽게 사구도가 완성된다.
중상용구도[편집 | 원본 편집]
위의 그림처럼 원형+방사형으로 숫자가 배열된 마법진에 대한 이야기이다. 방사선으로 2n+1개, 원주상에서 2n개의 숫자가 배열되어 있으며, 각 방사선상의 2n+1의 숫자의 합은 각 동심원 상의 2n개의 숫자와 중심 숫자의 합과 동일하다. 구수략에서는 n=2일 때는 범수용오도, n=3일 때는 장책용칠도, n=4일 때 중상용구도라고 명명했다.
원본은 추가바람. 역시 가장 간단하게 마법진을 유도할 수 있는 방법을 소개한다. 우선 기본적으로는 방사형 방진은 홀수개의 숫자로 구성되어 있으며, 가장 가운데에는 1~33 사이의 중앙값인 17을 놓는다. 그 다음에 중심을 기준으로 점대칭의 위치에 있는 수들끼리는 1+33=34에 대해 서로 보수가 되는 수를 배열하면 간단히 유도된다. 왜냐하면 동심원상의 숫자든지 방사선 상의 숫자든지 34에 대한 네 쌍의 보수의 합으로 표현되기 때문이다. 구체적으로 유도하면 위의 그림처럼 1을 맨 위에 놓는다. 그 다음에 1과는 점대칭의 위치에 있는 곳은 33을 채워넣어야 하기 때문에(1과 같이 노란색으로 표시된 곳) 2,3,4를 채운 뒤에는 5는 제일 바깥의 동심원상이 아닌 그 바로 안쪽에 있는 수를 채워넣어야 한다. 마찬가지로 9, 13도 각각 5, 9보다 한 칸 안쪽의 동심원으로 채워넣는다. 마지막으로 16까지 동심원상의 숫자를 채워넣으면 중앙값인 17을 중앙에 채워넣고, 18부터는 1~16을 채워넣은 방식과 반대로 채워넣으면 된다.
낙서구구도[편집 | 원본 편집]
위의 그림처럼 낙서 정규마방진(3×3 배열)과 그 아홉 수를 둘러싸는 8개씩의 숫자, 즉 1~81의 숫자를 이용한한 마법진으로 가운데 숫자에 주변을 두르는 여덟 수를 더하면 369로 모두 동일한 마법진이다.
가장 간단하게 유도할 수 있는 방식은 위 그림처럼 10~81까지의 숫자를 둘씩 짝지을 합이 91이 되는 수를 기준으로 배열하면 된다. 다만 단순히 합해서 91이 되는 보수 네 쌍을 낙서마방진을 이루는 숫자 주변에 배열하는 식으로 놓으면 팔각형을 이루는 여덟 원소의 합은 동일하나 중앙의 1~9까지 숫자 때문에 합이 달라진다. 따라서 아래 그림과 같이 한 쌍의 숫자 짝을 살짝 변화를 주어서 합이 91보다 4 작은 수(87)에서 4 큰 수(95)까지 하나식 나타나게 조절한다. 그러면 합산해서 87을 이루는 두 수는 9 주변의 팔각형에, 88을 이루는 두 수는 8 주변의 팔각형에 이런식으로 합해서 95를 이루는 두 수는 1 주변의 팔각형에 배치하면 마법진이 완성된다.
후책용구도[편집 | 원본 편집]
위의 그림처럼 13개의 팔각형과 12개의 사각형이 배열되어 있고, 팔각형을 이루는 여덟 숫자의 합이 모두 같고, 사각형을 이루는 네 숫자의 합이 모두 같은 마법진을 의미한다. 1~72까지 모두 72개의 원소가 있으며, 팔각형을 이루는 여덟 숫자의 합은 292, 사각형을 이루는 네 숫자의 합은 146이다.
우선 이 마법진에서는 팔각형의 변 중에서 사선 형태의 변들 (↗, ↘)을 이루는 두 원소가 서로 합해서 73이 되게 만들면 자연스럽게 팔각형을 이루는 여덟 수의 합이 73×4=292가 유도된다. 그리고 위의 마법진처럼 옥색으로 칠한 부분에 1~36까지 배열하고, 맨 왼쪽의 사각형의 왼쪽 변의 두 원소의 합이 74가 되게 위에서 옥색 칠한 부분 기준으로 1부터 1씩 증가시키는 방향으로 숫자를 채운다. 이번에는 팔각형의 오른쪽 부분에서도 마찬가지 전략으로 위에서 아래로 내려갈 때 옥색 칠한 부분을 기준로 1씩 증가시키는 방향으로 숫자를 채우면 자연스럽게 왼쪽 사각형의 오른변을 이루는 두 원소의 합은 72가 되어 사각형의 네 숫자의 합의 조건 146을 만족시킨다. 또한 1~12, 61~72까지 왼쪽 팔각형 세 개를 채웠다면 마찬가지 방법으로 13~24, 49~60까지 숫자로 가운데 세 팔각형을 채울 수 있고, 오른쪽 세 팔각형도 25~48까지 숫자로 채울 수 있다. 이 방식은 일반화해서 정팔각형/정사각형 배열이 (8,8,4) 준정다각형 테셀레이션을 이루고, 정팔각형이 직사각형 형태로 배열될 때로 확장해서 적용할 수도 있다.