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[[선형대수학]]의 주인공. | |||
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[[어떤 마술의 금서목록]]의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다. | [[어떤 마술의 금서목록]]의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다. | ||
== 정의 | == 정의 == | ||
''K''가 체(field)일 때, 집합 ''V'' 위에 두 연산 덧셈 +와 ''K''상수곱(''K''스칼라곱)이 정의되어 있어서 다음 10가지 공리를 만족하면,<br /> (''V'', +, ''K''상수곱)의 triple을 '''''K''벡터공간(''K''‐vector space)''' 혹은 혼동의 여지가 없으면 그냥 벡터공간이라고 한다. | |||
정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다. | |||
# ''V''는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''∈''V''. | |||
# ''V''는 ''K''상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 '''v'''∈''V''와 ''a''∈''K''에 대해 ''a'''''v'''∈''V''.<ref>사실 1번 및 2번 공리는 “''V'' '''위에''' 정의되어 있다”는 말에 포함되는데, 이런 추상적인 정의를 처음 배우는 점을 고려하여 공리에 포함하는 책이 많다. 덕분에 공리가 10개나 되어 더 압박스러운 점이 문제라면 문제.</ref> | |||
# (덧셈의 [[결합법칙]]) 모든 '''u''', '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ('''u'''+'''v''')+'''w'''='''u'''+('''v'''+'''w'''). | |||
# (덧셈의 [[항등원]]) 적당한 '''0'''∈''V''가 있어서 모든 '''v'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''0'''='''0'''+'''v'''='''v'''.<ref>어차피 [[교환법칙]]이 성립하므로 한쪽만 있으면 되긴 하는데, 즉 '''v'''+'''0'''='''v'''만 남겨도 되긴 하는데, 교환법칙은 없어도 항등원은 있는 경우는 엄청 많으므로(사실 결합법칙조차 없어도 된다. [[항등원]] 항목 참조) 심각한 책에서는 꼭 이렇게 적는다.</ref> | |||
#* 항등원은 존재하면 유일하므로<ref>'''0'''′도 덧셈의 항등원이면 '''0''' = '''0'''+'''0'''′ = '''0'''′이므로 유일하다. 왼쪽 등호는 항등원 '''0'''′의 정의, 오른쪽 등호는 항등원 '''0'''의 정의이다.</ref>, 이 원소를 그냥 '''0'''으로 적고, '''영벡터(zero vector)'''라 부른다. 혼동의 여지가 있을 때는 '''0'''<sub>''V''</sub>로 적기도 한다. | |||
# (덧셈의 [[역원]]) 모든 '''v'''∈''V''에 대해 적당한 '''w'''∈''V''가 있어서 '''v'''+'''w'''='''w'''+'''v'''=0.<ref>앞의 항등원 공리와 비교하여 ‘모든’과 ‘적당한’의 순서가 바뀌었음을 확인해야 한다. 이거 헷갈리기 시작하면 다 망한다.</ref> | |||
#* 역원은 존재하면 유일하므로 <ref>'''u'''도 '''v'''의 역원이면 '''u''' = '''u'''+'''0''' = '''u'''+('''v'''+'''w''') = ('''u'''+'''v''')+'''w''' = '''0'''+'''w''' = '''w'''이므로 유일하다. 가운데 등호는 결합법칙이고, 나머지는 항등원과 역원의 정의이다.</ref> 이 원소를 그냥 −'''v'''로 적는다. | |||
# (덧셈의 [[교환법칙]]) 모든 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 '''v'''+'''w'''='''w'''+'''v'''. | |||
# (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 [[분배법칙]]) 모든 ''a''∈''K''와 '''v''', '''w'''∈''V''에 대해 ''a''('''v'''+'''w''')=''a'''''v'''+''a'''''w'''. | |||
# (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''a''+''b'')'''v'''=''a'''''v'''+''b'''''v'''. | |||
# (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 ''a'', ''b''∈''K''와 '''v'''∈''V''에 대해 (''ab'')'''v'''=''a''(''b'''''v'''). | |||
# (항등원의 곱셈) ''K''의 곱셈의 항등원 1과 모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''.<ref>“모든 '''v'''∈''V''에 대해 1'''v'''='''v'''인 1이 ''K''에 존재한다.”라고 착각하는 사람이 간혹 있는데, 전혀 다른 의미이다. 그런 조건이 아니다. 큰일난다.</ref> | |||
직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 확대·축소가 가능한 집합을 말한다. | |||
[[대수학]]을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 [[체]](field) 위의 [[가군]](module)’이라는 말 한 마디로 끝난다.<ref>Hungerford 대수학 등에서는 [[환|나눗셈환(division ring)]] 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 ''a'', ''b''에 대해 ''ab''=''ba''일 필요는 없다고 생각한다.</ref> 벡터공간은 free ''K''가군이다. | |||
벡터공간의 원소는 '''[[벡터 (수학)|벡터(vector)]]'''라고 한다. | |||
== 예시 == | |||
가장 직관적인 예시는 순서쌍의 집합일 것이다. 즉, | |||
* 체 ''K''의 ''n''‐tuple의 집합 ''K''<sup>''n''</sup>은 ''K''벡터공간. ''n''이 1이면 체 ''K'' 자체가 된다. | |||
그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다. | |||
* 체 ''K'' 위의 ''m''×''n'' [[행렬 (수학)|행렬(matrix)]]의 집합 ''M''<sub>''m'',''n''</sub>(''K'')는 ''K''벡터공간. | |||
* 체 ''K'' 위의 일변수 ''n''차 [[다항식|다항식(polynomial)]]의 집합 '''P'''<sub>''n''</sub>(''K'')[''t'']는 ''K''벡터공간. | |||
* 체 ''K'' 위의 일변수 다항식의 집합 ''K''[''t'']는 ''K''벡터공간. | |||
* [[실수]]에서 [[실수]]로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 <math>\mathbb R</math>벡터공간. | |||
* [[복소수|복소수체]] <math>\mathbb C</math>는 <math>\mathbb C</math>벡터공간이기도 하고, <math>\mathbb R</math>벡터공간이기도 하다. | |||
선형대수학을 공부하다 보면 다음 예들도 만나게 되나, 지금 수준에선 전혀 이해할 수 없는 것들이다. 가끔 이 예시들을 벡터공간의 정의 바로 다음에 연습문제로 넣는 책이 있는데, 그런 책은 아주 나쁜 책이다. | |||
* ''V''와 ''W''가 ''K''벡터공간일 때, ''V''에서 ''W''로 가는 선형사상(linear transformation)들의 집합 ''L''(''V'',''W'')은 ''K''벡터공간. | |||
* ''V''가 ''K''벡터공간일 때, ''V''에서 ''K''로 가는 ''K''선형형식들의 집합 ''V''<sup>∗</sup>은 ''K''벡터공간. 이를 '''쌍대공간(dual space)'''이라 한다. 사실 앞의 선형사상공간의 한 예에 불과하다고 볼 수도 있으나, 매우 중요하다. | |||
* ''V''가 ''K''벡터공간이고 ''W''가 ''V''의 부분공간(subspace)일 때, 잉여공간(coset space) ''V''/''W''는 ''K''벡터공간. 이를 '''몫공간(quotient space)'''이라 한다. | |||
== 성질 == | |||
* 0∈''K''와 모든 '''v'''∈''V''에 대해 0'''v'''='''0'''이다.<ref>이렇게 스칼라 0∈''K''와 구분하려고 영벡터 '''0'''은 굵은 글꼴로 적은 것이다. 물론 영공간(zero space) 0={'''0'''}도 있고, 대수학을 배우다 보면 훨씬 더 많은 0이 나오므로 이들을 매번 글꼴로 구분하려면 글꼴이 남아나지 않고, 앞서 보았듯 ''V''의 원소 외에도 선형사상 등 많은 것을 벡터로 취급할 수 있으므로 스칼라와 벡터의 구분이 항상 명확한 것도 아니다. 그래서 심각한 책에서는 그냥 0으로 적는 경우가 많으나, 이 항목에서는 벡터공간이 대수학의 가장 기초적인 내용임을 고려해 스칼라와 벡터를 구분해 혼동의 여지를 최소화했다.</ref> | |||
* ''a'', ''b''∈''K''이고 '''v''', '''w'''∈''V''일 때, ''a'''''v'''+''b'''''w'''∈''V''이다. | |||
: 따라서 수학적 귀납법에 의해, ''a''<sub>1</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub>∈''K''이고 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>∈''V''에 대해 <math>\sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V</math>임을 알 수 있다. 이런 꼴을 '''v'''<sub>1</sub>, …, '''v'''<sub>''n''</sub>의 '''일차결합(linear combination)'''이라고 한다. | |||
== 부분공간(Subspace) == | |||
''K''벡터공간 ''V''의 부분집합 ''W''가 ''V''로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 ''K''벡터공간이 되면, ''W''를 ''V''의 '''부분공간(subspace)'''이라 하고, <math>W \leq V</math>라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 '''''K''부분공간(''K''‐subspace)'''이라 하기도 하고, <math>W \leq_K V</math>로 적기도 한다. | |||
부분공간의 예는 다음과 같다. | |||
* ''K''벡터공간 ''K''<sup>''n''</sup>의 (연립)일차방정식의 해공간(solution space). | |||
* <math>\mathbf P_n (K) [t] \leq K[t]</math> | |||
* <math>\mathbb R \leq_\mathbb R \mathbb C</math> | |||
* 부분공간의 부분공간은 부분공간이다. 즉, ''W''≤''V''이고 ''U''≤''W''이면 ''U''≤''V''(정의에 의해 자명하다). | |||
* 부분공간의 교집합은 부분공간이다. 즉, ''U'', ''W''≤''V''이면 ''U''∩''W''≤''V''(이것도 정의에 의해 자명하다). | |||
= | 위 부분공간의 정의는 ''W''가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.<ref>'''0'''∈''W''인지 확인할 필요는 없다. 이걸 동치조건에 넣고 있는 책은 수준이 의심스럽다.</ref> 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다. | ||
''S''가 ''V''의 부분집합일 때, ''S''를 포함하는 ''V''의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 '''''S''가 생성하는 부분공간(subspace generated by ''S'')'''이라 하고, <math>\langle S \rangle</math>로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제되나…… | |||
이러한 부분공간 <math>\langle S \rangle</math>의 존재성과 유일성은 <math>\langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W</math>를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. | |||
실제로 <math>\langle S \rangle</math>를 계산하려면 <math>\langle S \rangle = \{</math>''S''의 모든 원소의 일차결합<math>\}</math>임을 증명하여야 한다. 이는 ''S''⊆''W''≤''V''일 때마다 ''W''에는 ''S''의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다. | |||
아예 처음부터 이렇게 <math>\langle S \rangle</math>는 ''S''의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 매우매우 쉽기 때문이다. | |||
== | == 기저(Basis)와 차원(Dimension) == | ||
== | == 선형사상(Linear transformation) == | ||
== 고윳값과 고유공간분해 == | |||
== 내적공간 == | |||
== 몫공간 == | |||
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2015년 5월 12일 (화) 14:41 판
선형대수학의 주인공.
소개
(3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 추가바람)
어떤 마술의 금서목록의 등장인물인 엑셀러레이터의 초능력이 이 벡터공간의 원소인 벡터를 마음대로 다루는 것이다.
정의
K가 체(field)일 때, 집합 V 위에 두 연산 덧셈 +와 K상수곱(K스칼라곱)이 정의되어 있어서 다음 10가지 공리를 만족하면,
(V, +, K상수곱)의 triple을 K벡터공간(K‐vector space) 혹은 혼동의 여지가 없으면 그냥 벡터공간이라고 한다.
정의를 완전히 풀어 쓰면 다음과 같다.
- V는 덧셈에 대해 닫혀 있을 것. 즉, 모든 v, w∈V에 대해 v+w∈V.
- V는 K상수곱에 대해 닫혀 있을 것. 모든 v∈V와 a∈K에 대해 av∈V.[1]
- (덧셈의 결합법칙) 모든 u, v, w∈V에 대해 (u+v)+w=u+(v+w).
- (덧셈의 항등원) 적당한 0∈V가 있어서 모든 v∈V에 대해 v+0=0+v=v.[2]
- 항등원은 존재하면 유일하므로[3], 이 원소를 그냥 0으로 적고, 영벡터(zero vector)라 부른다. 혼동의 여지가 있을 때는 0V로 적기도 한다.
- (덧셈의 역원) 모든 v∈V에 대해 적당한 w∈V가 있어서 v+w=w+v=0.[4]
- 역원은 존재하면 유일하므로 [5] 이 원소를 그냥 −v로 적는다.
- (덧셈의 교환법칙) 모든 v, w∈V에 대해 v+w=w+v.
- (벡터의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 a∈K와 v, w∈V에 대해 a(v+w)=av+aw.
- (스칼라의 덧셈에 대한 상수곱의 분배법칙) 모든 a, b∈K와 v∈V에 대해 (a+b)v=av+bv.
- (스칼라의 곱셈과 상수곱의 compatibility) 모든 a, b∈K와 v∈V에 대해 (ab)v=a(bv).
- (항등원의 곱셈) K의 곱셈의 항등원 1과 모든 v∈V에 대해 1v=v.[6]
직관적으로 말해, 원소들 간의 덧셈·뺄셈과 원소의 확대·축소가 가능한 집합을 말한다.
대수학을 좀 더 배우면 위의 열 줄이 ‘벡터공간은 체(field) 위의 가군(module)’이라는 말 한 마디로 끝난다.[7] 벡터공간은 free K가군이다.
벡터공간의 원소는 벡터(vector)라고 한다.
예시
가장 직관적인 예시는 순서쌍의 집합일 것이다. 즉,
- 체 K의 n‐tuple의 집합 Kn은 K벡터공간. n이 1이면 체 K 자체가 된다.
그 밖에 다음과 같은 것도 벡터공간이다.
- 체 K 위의 m×n 행렬(matrix)의 집합 Mm,n(K)는 K벡터공간.
- 체 K 위의 일변수 n차 다항식(polynomial)의 집합 Pn(K)[t]는 K벡터공간.
- 체 K 위의 일변수 다항식의 집합 K[t]는 K벡터공간.
- 실수에서 실수로 가는 모든 함수(혹은 모든 연속함수, 모든 미분가능함수, 모든 일급함수, …)의 집합은 [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]벡터공간.
- 복소수체 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb C }[/math]벡터공간이기도 하고, [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]벡터공간이기도 하다.
선형대수학을 공부하다 보면 다음 예들도 만나게 되나, 지금 수준에선 전혀 이해할 수 없는 것들이다. 가끔 이 예시들을 벡터공간의 정의 바로 다음에 연습문제로 넣는 책이 있는데, 그런 책은 아주 나쁜 책이다.
- V와 W가 K벡터공간일 때, V에서 W로 가는 선형사상(linear transformation)들의 집합 L(V,W)은 K벡터공간.
- V가 K벡터공간일 때, V에서 K로 가는 K선형형식들의 집합 V∗은 K벡터공간. 이를 쌍대공간(dual space)이라 한다. 사실 앞의 선형사상공간의 한 예에 불과하다고 볼 수도 있으나, 매우 중요하다.
- V가 K벡터공간이고 W가 V의 부분공간(subspace)일 때, 잉여공간(coset space) V/W는 K벡터공간. 이를 몫공간(quotient space)이라 한다.
성질
- 0∈K와 모든 v∈V에 대해 0v=0이다.[8]
- a, b∈K이고 v, w∈V일 때, av+bw∈V이다.
- 따라서 수학적 귀납법에 의해, a1, …, an∈K이고 v1, …, vn∈V에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i \mathbf v_i \in V }[/math]임을 알 수 있다. 이런 꼴을 v1, …, vn의 일차결합(linear combination)이라고 한다.
부분공간(Subspace)
K벡터공간 V의 부분집합 W가 V로부터 물려받은 연산에 관하여 다시 K벡터공간이 되면, W를 V의 부분공간(subspace)이라 하고, [math]\displaystyle{ W \leq V }[/math]라 적는다. 혼동의 여지가 있으면 K부분공간(K‐subspace)이라 하기도 하고, [math]\displaystyle{ W \leq_K V }[/math]로 적기도 한다.
부분공간의 예는 다음과 같다.
- K벡터공간 Kn의 (연립)일차방정식의 해공간(solution space).
- [math]\displaystyle{ \mathbf P_n (K) [t] \leq K[t] }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbb R \leq_\mathbb R \mathbb C }[/math]
- 부분공간의 부분공간은 부분공간이다. 즉, W≤V이고 U≤W이면 U≤V(정의에 의해 자명하다).
- 부분공간의 교집합은 부분공간이다. 즉, U, W≤V이면 U∩W≤V(이것도 정의에 의해 자명하다).
위 부분공간의 정의는 W가 덧셈과 상수곱에 대해 닫혀 있는 것과 동치이다.[9] 아예 처음부터 이 동치조건을 이용해 부분공간을 정의하기도 한다.
S가 V의 부분집합일 때, S를 포함하는 V의 가장 작은(최소의, smallest) 부분공간을 S가 생성하는 부분공간(subspace generated by S)이라 하고, [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]로 적는다. 최소(Smallest)가 아니고 극소(minimal)로 정의하기도 하는데, 최소로 정의하면 존재성이, 극소로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분공간 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]의 존재성과 유일성은 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle = \bigcap_{S \subseteq W \leq V} W }[/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분공간의 교집합이 다시 부분공간인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.
실제로 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]를 계산하려면 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle = \{ }[/math]S의 모든 원소의 일차결합[math]\displaystyle{ \} }[/math]임을 증명하여야 한다. 이는 S⊆W≤V일 때마다 W에는 S의 모든 원소의 일차결합이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분공간 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.
아예 처음부터 이렇게 [math]\displaystyle{ \langle S \rangle }[/math]는 S의 모든 원소의 일차결합을 모아 놓은 집합이라고 정의하는 책도 있다. 이렇게 정의한 뒤 그 결과가 부분공간이 됨을 보이는 것은 매우매우 쉽기 때문이다.
기저(Basis)와 차원(Dimension)
선형사상(Linear transformation)
고윳값과 고유공간분해
내적공간
몫공간
각주
- ↑ 사실 1번 및 2번 공리는 “V 위에 정의되어 있다”는 말에 포함되는데, 이런 추상적인 정의를 처음 배우는 점을 고려하여 공리에 포함하는 책이 많다. 덕분에 공리가 10개나 되어 더 압박스러운 점이 문제라면 문제.
- ↑ 어차피 교환법칙이 성립하므로 한쪽만 있으면 되긴 하는데, 즉 v+0=v만 남겨도 되긴 하는데, 교환법칙은 없어도 항등원은 있는 경우는 엄청 많으므로(사실 결합법칙조차 없어도 된다. 항등원 항목 참조) 심각한 책에서는 꼭 이렇게 적는다.
- ↑ 0′도 덧셈의 항등원이면 0 = 0+0′ = 0′이므로 유일하다. 왼쪽 등호는 항등원 0′의 정의, 오른쪽 등호는 항등원 0의 정의이다.
- ↑ 앞의 항등원 공리와 비교하여 ‘모든’과 ‘적당한’의 순서가 바뀌었음을 확인해야 한다. 이거 헷갈리기 시작하면 다 망한다.
- ↑ u도 v의 역원이면 u = u+0 = u+(v+w) = (u+v)+w = 0+w = w이므로 유일하다. 가운데 등호는 결합법칙이고, 나머지는 항등원과 역원의 정의이다.
- ↑ “모든 v∈V에 대해 1v=v인 1이 K에 존재한다.”라고 착각하는 사람이 간혹 있는데, 전혀 다른 의미이다. 그런 조건이 아니다. 큰일난다.
- ↑ Hungerford 대수학 등에서는 나눗셈환(division ring) 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 a, b에 대해 ab=ba일 필요는 없다고 생각한다.
- ↑ 이렇게 스칼라 0∈K와 구분하려고 영벡터 0은 굵은 글꼴로 적은 것이다. 물론 영공간(zero space) 0={0}도 있고, 대수학을 배우다 보면 훨씬 더 많은 0이 나오므로 이들을 매번 글꼴로 구분하려면 글꼴이 남아나지 않고, 앞서 보았듯 V의 원소 외에도 선형사상 등 많은 것을 벡터로 취급할 수 있으므로 스칼라와 벡터의 구분이 항상 명확한 것도 아니다. 그래서 심각한 책에서는 그냥 0으로 적는 경우가 많으나, 이 항목에서는 벡터공간이 대수학의 가장 기초적인 내용임을 고려해 스칼라와 벡터를 구분해 혼동의 여지를 최소화했다.
- ↑ 0∈W인지 확인할 필요는 없다. 이걸 동치조건에 넣고 있는 책은 수준이 의심스럽다.