중간값 정리

진술

중간값 정리(Intermediate-value Theorem)는 연속함수의 어느 닫힌 구간의 두 끝점을 잡으면 그 끝점의 함숫값 사이의 값을 함수값으로 가지는 점이 그 구간에 있다는, 그림으로 그리면 너무나 당연해 보이는 명제다. 고등학교에서는 직관적에 의존하는 설명만 하고 증명 없이 넘어가지만, 해석학에선 엄밀한 증명을 하고 넘어간다. 정리를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ a,b }[/math]를 [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math]인 실수라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]이 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이라고 하자. 임의의 실수 \(k\)에 대해 [math]\displaystyle{ f(a)\lt k\lt f(b) }[/math]또는 [math]\displaystyle{ f(b)\lt k\lt f(a) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(c)=k }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다.

여기서는 수열과 엡실론-델타 논법을 사용한 증명을 소개한다. 폐구간 수렴 정리를 이용한 증명도 존재하나, 조금 지저분하다.

도움정리

1. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

증명

[math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이라 가정하자. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \varepsilon=\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right) }[/math]이다. 부등호를 전개하여 정리하면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]을 얻는다. [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]일 때도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

2. \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left[x_0,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left[x_0,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

3. \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

2번과 3번의 증명은 1번과 거의 동일하므로 생략한다.

본증명

[math]\displaystyle{ f\left(a\right)\lt k\lt f\left(b\right) }[/math]라고 가정하자. 다른 경우의 증명은 비슷하므로 직접 해보자. [math]\displaystyle{ g\left(x\right):=f\left(x\right)-k }[/math]으로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ g\left(a\right)=f\left(a\right)-k\lt 0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ g\left(b\right)=f\left(b\right)-k\gt 0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ c=\sup\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]이라 정의하자. 그럼 \(g\)는 연속이므로, 도움정리에 의해 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,a+\delta_1\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\lt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\in\left(b-\delta_2,b\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\gt 0 }[/math]이게 하는 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1,\delta_2\gt 0 }[/math]가 존재한다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]임을 증명한다.

한편, [math]\displaystyle{ c\lt x\leq b }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\geq0 }[/math]이다. 만약 이게 성립하지 않는다면, \(c\)의 정의에 모순이 되기 때문. 따라서, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0 }[/math]이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ g\left(c\right)\geq0 }[/math]이다.

이제, [math]\displaystyle{ x_n\lt c,\,\lim_{n\to\infty}x_n=c }[/math]이고, [math]\displaystyle{ g\left(x_n\right) }[/math]인 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]안의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]을 고르자. 만약 이런 수열이 존재하지 않는다면, 집합 [math]\displaystyle{ \left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]은 \(c\)보다 작은 상계를 가지고, 이는 \(c\)의 정의에 모순이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}g\left(x_n\right)=g\left(c\right)\leq0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ g\left(c\right)\geq0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g\left(c\right)\leq0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g\left(c\right)=0 }[/math]이고, 이는 즉 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math]임을 의미한다.

활용

고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이 있다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt 0,f\left(b\right)\lt 0 }[/math] (혹은 그 반대)이고 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 연속이면 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math]사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는 것이 있다. 테이블을 바닥에 두고 돌리면, 90도 이내에 테이블이 흔들리지 않는 위치가 존재하게 된다. 주의할 점은, 테이블의 세 점을 바닥에 붙인 다음에 돌려야 한다는 것이다.