연속함수

연속함수(連續函數, Continuous Function)란, 말 그대로 함수의 그래프가 끊어지지 않고 계속 이어져 있는 함수를 말한다. 물론 이는 기하학적인 직관을 이용한 설명이고, 실제 수학적인 정의는 이것과는 다르다. 어떤 함수의 연속성은 해석학에서 매우 중요하게 다루는 주제이며, 위상수학으로 넘어가서도 위상 공간상의 연속이라는 개념으로 계속 나온다. 대한민국의 수학 교육 과정상, 연속함수는 고등학교에서 배우게 되지만, 고교 수학이 다 그렇듯이 수학적 엄밀함이 아닌 직관에 의존하여 설명한다.

해석학에서

정의

정의역 [math]\displaystyle{ D }[/math]의 원소 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에 대해, 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이라는 말은, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이 성립함을 의미한다. 엡실론-델타 논법을 사용하여 설명하면, 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립함을 의미한다.

이 정의는 세 가지 사실을 하나로 함축하고 있다. 고등학교에서는 아래 세 가지 성질을 모두 만족해야 그 점에서 연속인 것으로 가르친다.

1. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]이 정의역의 원소이다. 즉, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math]이 정의되어 있다.
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right) }[/math]이 존재한다.
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이다.

이 정의가 과연 수학적으로 엄밀한가에 대한 의문이 떠오를 수도 있는데, 이 정의를 배우기 전에 무엇을 배웠는가에 따라 답이 달라진다. 학부에서는 극한의 엄밀한 정의를 집고 넘어가기 때문에 위 정의만으로도 충분히 엄밀하지만, 고등학교에서는 극한의 엄밀한 정의따위는 가볍게 씹고 넘어가기 때문에 위 정의만으로는 엄밀하지 않게 된다(...).

만약 저 세 성질 중에 단 하나라도 성립하지 않는다면 연속함수가 아니게 된다. 1번 성질이 성립하지 않는다면 그 점에서의 연속성을 논하는 것 자체가 의미 없다. 2번은 성립하나 1번이 성립하지 않을 경우, 아니면 1, 2번은 성립하나 3번이 성립하지 않을 경우 그래프에 구멍이 하나 뚫린 형태를 가지며, 만약 1번은 성립하나 2번이 성립하지 않을 경우에는 그래프가 그 점에서 껑충 뛰는 형태를 가지게 된다. 이 때, 전자를 removable discontinuity, 후자를 jump discontinuity라 부른다.

만약 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 주어진 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 모든 점에서 연속이라면, 우리는 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ I }[/math]에서 연속이라고 부른다.

좌극한, 우극한을 정의할 수 있듯이, 좌연속, 우연속도 정의할 수 있다.

• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x_0}^+}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이 성립하면 우연속
• [math]\displaystyle{ \lim_{x\to {x_0}^-}f\left(x\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이 성립하면 좌연속

이라 부른다. 그럼, 어느 한 점에서의 연속성은 그 점에서 좌연속이고 동시에 우연속인 것과 동치임을 쉽게 알 수 있다.

기본 성질

1. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]의 근방에서 정의되어 있다고 하자. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이라면, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]로 수렴하는 정의역 내의 임의의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이다. 역도 성립한다.

   이 정리는 수열을 사용하여 연속성을 정의할 수 있게 해준다. 증명은 함수의 극한을 수열의 극한으로 나타낼 수 있다는 사실에서 쉽게 유도된다.

   참고로 이 성질은 수열의 극한을 교환할 수 있음을 증명하기도 한다. 즉, 연속함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]와 수렴하는 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}f\left(x_n\right)=f\left(\lim_{n\to\infty}x_n\right) }[/math].

2. [math]\displaystyle{ f,\,g }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속인 함수라고 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f+g,\,f\cdot g }[/math]도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다. 만약 [math]\displaystyle{ g\left(x_0\right)\neq0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f/g }[/math]도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다.

   극한의 성질에 의해 쉽게 유도된다.

3. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math]에서 연속이라면, [math]\displaystyle{ \left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right) }[/math]도 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이다.

   [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]이 주어졌다 하자. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right) }[/math]에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \eta\gt 0 }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|y-f\left(x_0\right)\right|\lt \eta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(y\right)-g\left(f\left(x_0\right)\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립한다. 한편, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \eta }[/math]가 성립한다. 따라서, 주어진 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하여, [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(f\left(x\right)\right)-g\left(f\left(x_0\right)\right)\right|\lt \varepsilon }[/math]이 성립한다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ g\circ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 연속임을 의미한다.

주요 정리

1. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 닫혀있고 유계(bounded)인 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간에서 유계이다.

   중요한 것은 닫혀있고 유계인 구간이라는 것이다. 만약 (반)열린구간이거나 유계인 구간이 아니면 연속함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 굳이 유계일 필요가 없다. 증명은 최대 최소의 정리의 보조정리를 참고.

2. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

   최대 최소의 정리로 알려진 정리. 고등학교에서는 증명을 하지 않고 사용한다. 증명은 항목 참조.

3. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ k }[/math]가 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math] 사이의 값이면, 적당한 [math]\displaystyle{ c }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]에 적어도 하나 존재해 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math]이다.

   중간값 정리로 알려진 정리. 역시 고등학교에서는 증명을 하지 않고 사용한다. 증명은 항목 참조.

4. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이고, [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\in\left[a,b\right] }[/math]이면, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)=x_0 }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]가 적어도 하나 존재한다.

   고정값 정리로 알려진 정리. 증명은 다음과 같다.

   만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)=a }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ f\left(b\right)=b }[/math]이면 명제는 당연히 성립한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt a,\,f\left(b\right)\lt b }[/math]로 가정하자. [math]\displaystyle{ g\left(x\right):=f\left(x\right)-x }[/math]로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속이다. 한편, [math]\displaystyle{ g\left(a\right)=f\left(a\right)-a\gt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g\left(b\right)=f\left(b\right)-b\lt 0 }[/math]이므로, 중간값 정리에 의해 [math]\displaystyle{ g\left(x_0\right)=0 }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]가 존재한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)=x_0 }[/math].

5. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속인 단사함수(injective function=injection)라면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 그 구간에서 강단조 함수이다.

   [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\lt f\left(b\right) }[/math]라 먼저 가정하자. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 강증가 함수가 아니라면, 적당한 [math]\displaystyle{ x_1,\,x_2\in\left[a,b\right] }[/math]가 존재하여, [math]\displaystyle{ x_1\lt x_2 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\geq f\left(x_2\right) }[/math]을 만족한다. 만약 등호가 성립하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사함수라는 가정에 모순이므로, [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\gt f\left(x_2\right) }[/math]이다. 그럼 두 가지 가능성을 생가할 수 있다.

   1. [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\gt f\left(b\right) }[/math]: [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(b\right),f\left(x_1\right)\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ k }[/math]를 고른다. 그럼, 중간값 정리에 의해 적당한 [math]\displaystyle{ c_1\in\left(a,x_1\right) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_1\right)=k }[/math]이고, [math]\displaystyle{ c_2\in\left(x_1,b\right) }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_2\right)=k }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ c_1\neq c_2 }[/math]이므로, 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사함수라는 조건에 모순이다.
   2. [math]\displaystyle{ f\left(x_1\right)\lt f\left(b\right) }[/math]: 그럼, [math]\displaystyle{ f\left(x_2\right)\lt f\left(b\right) }[/math]이다. [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(x_1\right)\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ k }[/math]를 고른다. 그럼, [math]\displaystyle{ k\in\left(f\left(x_2\right),f\left(b\right)\right) }[/math]임은 자명하다. 다시 중간값 정리에 의해, 적당한 [math]\displaystyle{ c_1\in\left(x_1,x_2\right) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_1\right)=k }[/math]이고, [math]\displaystyle{ c_2\in\left(x_2,b\right) }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ f\left(c_2\right)=k }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ c_1\neq c_2 }[/math]이므로, 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사함수라는 조건에 모순이다.

   따라서, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 강증가 함수이다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt f\left(b\right) }[/math]라면, 같은 증명을 [math]\displaystyle{ -f }[/math]에 적용하면 된다.

6. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]에서 연속인 단사함수라면, [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]도 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math]에서 연속이다. 여기서, [math]\displaystyle{ M=\sup f\left(x\right),\,m=\inf f\left(x\right) }[/math]이다.

   최대 최소의 정리, 중간값 정리에 의해, [math]\displaystyle{ f }[/math]의 치역은 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사함수이므로 [math]\displaystyle{ f^{-1}:\left[m,M\right]\to\left[a,b\right] }[/math]은 잘 정의된다. 이제, [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]을 구간 [math]\displaystyle{ \left[m,M\right] }[/math] 내의 임의의 원소라 가정하자. [math]\displaystyle{ f^{-1} }[/math]가 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]에서 연속임을 보이면 충분하다. [math]\displaystyle{ \left\{y_n\right\}\subseteq\left[m,M\right] }[/math]가 [math]\displaystyle{ y_0 }[/math]로 수렴하는 임의의 수열이라 가정하자. 그럼, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right) }[/math]임을 증명해도 된다. [math]\displaystyle{ x_0=f^{-1}\left(y_0\right),\,x_n=f^{-1}\left(y_n\right) }[/math]이라 정의하고, [math]\displaystyle{ x_n\not\to x_0 }[/math]라 가정하자. 그럼, 적당한 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \left|x_n-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math]을 만족하는 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 무수히 많이 존재한다. 여기서, [math]\displaystyle{ \left\{x^*_n\right\} }[/math]을 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|x^*_n-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]의 부분수열이라 가정하자. 그럼, 이 부분수열은 유계이므로, 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의해 수렴하는 부분수열이 존재한다. 이 부분수열을 [math]\displaystyle{ \left\{\hat{x_n}\right\} }[/math]라 가정하고, 수렴값을 [math]\displaystyle{ c }[/math]라 하자. 그럼, 모든 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|\hat{x_n}-x_0\right|\geq\varepsilon }[/math]이고, [math]\displaystyle{ \hat{x_n}\to c\in\left[a,b\right] }[/math]이다. 분명히, [math]\displaystyle{ c\neq x_0 }[/math]이다. [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ c }[/math]에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ f\left(\hat{x_n}\right)\to f\left(c\right) }[/math]이 성립한다. 그런데, [math]\displaystyle{ \left\{f\left(\hat{x_n}\right)\right\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ \left\{f\left(x_n\right)\right\}=\left\{y_n\right\} }[/math]의 부분수열이고, [math]\displaystyle{ y_n\to y_0=f\left(x_0\right) }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=f\left(x_0\right) }[/math]이다. 그런데 이는 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 단사함수라는 조건에 모순이므로, [math]\displaystyle{ x_n\to x_0 }[/math]이어야만 한다. 따라서, [math]\displaystyle{ f^{-1}\left(y_n\right)\to f^{-1}\left(y_0\right) }[/math].

균등 연속 함수

이와 관련한 내용은 균등 연속 함수에서 볼 수 있습니다.

어떤 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서의 연속성을 조사할 때, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]값은 보통 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]와 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]값에 모두 영항을 받는다. 즉, 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 연속성은 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]값에 영향을 받는 국소적인 연속이다. 그럼, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]값에 영향을 받지 않는 연속성에 대한 의문이 자연히 떠오를 것이다. 달리 말하면, [math]\displaystyle{ \delta }[/math]값이 [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]에만 영향을 받는 연속성을 말한다. 우리는 이러한 연속성을 균등 연속(Uniform continuous)이라 부르며, 균등 연속은 대역적인 연속성이다. 좀 더 자세한 설명은 균등 연속 함수를 참조.

이야깃거리

수학에 관심이 있는 사람이라면, 모든 점에서 불연속인 함수가 존재하는지에 대해 생각해 본 적이 있을 것이다. 모든 점에서 불연속인 대표적인 함수는 바로 디리클레 함수이며, 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\begin{cases}1,&\text{if }x\in\mathbb{Q}\\0,&\text{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\end{cases} }[/math]

여기서, 값을 어떻게 주냐에 따라 모든 점에서 불연속인 함수를 무수히 많이 만들 수 있다. 직관적으로 생각하면 이 함수는 모든 점에서 불연속임이 명백해 보인다. 그러나, 집합론적으로 접근하면 상당히 기괴한 결과인데, 유리수의 집합은 셀 수 있는 집합(countable)이며 무리수의 집합은 셀 수 없는 집합(uncountable)이므로, 무리수의 농도는 실수 자체의 농도와 동일하다. 즉, 실수체는 거의 전부 무리수로 구성되어 있고, 사이사이에 듬성듬성 유리수가 존재한다는 식의 잘못된 직관을 가질 수 있다. 그러나 구간을 아무리 작게 잡더라도 무리수만으로 구성되는 구간을 특정할 수는 없다.

물론, 이 사실 역시 수학적인 증명이 필요하며, 증명은 유리수와 무리수의 조밀성을 이용한다.

증명

임의의 [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb{R} }[/math]을 고르자. 유리수의 집합은 실수 집합 안의 조밀 집합이므로, 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x^*_n\in\left(x_0-\tfrac{1}{n},x_0+\tfrac{1}{n}\right) }[/math]을 만족하는 유리수 [math]\displaystyle{ x^*_n }[/math]이 존재한다. 그럼, 이 유리수의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x^*_n\right\} }[/math]은 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]으로 수렴함을 쉽게 보일 수 있다. 마찬가지 방법으로, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]로 수렴하는 무리수의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x^{'}_n\right\} }[/math]을 찾을 수 있다. 그런데, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}x^*_n=\lim_{n\to\infty}1=1\neq0=\lim_{n\to\infty}0=\lim_{n\to\infty}x^{'}_n }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]에서 불연속이다. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]는 임의의 값이었으므로, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]에서 불연속이다.

미분을 배웠다면, 미분가능성이 연속성을 의미하지만, 연속이 미분가능을 의미하지 않음을 배웠을 것이다. 그럼, 과연 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않은 함수가 존재하는지에 대한 의문이 들 수도 있다. 이런 함수의 대표적인 예로는 바이어슈트라스 함수가 있으며, 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left(b^n\pi x\right) }[/math]. 단, [math]\displaystyle{ 0\lt a\lt 1 }[/math], [math]\displaystyle{ b }[/math]는 홀수인 자연수, 그리고 [math]\displaystyle{ ab\gt 1+\tfrac{3}{2}\pi }[/math].

이 함수가 모든 점에서 연속이지만 모든 점에서 미분가능하지 않다는 사실은 1872년에 카를 바이어슈트라스에 의해 증명이 되었다. 이 함수는 부분이 전체를 닮은 프랙탈의 성질을 갖는 함수이며, 이 함수를 프랙탈 연구의 시초로 보는 시각도 존재한다. 참고로 프랙탈이라는 용어는 1975년에 가서야 등장한다.

이외에도 눈꽃모양을 하고있는 Koch snowflake 역시 모든 점에서 연속이지만, 모든 점에서 미분가능하지 않다.

위상수학에서

위상공간 [math]\displaystyle{ X, Y }[/math] 에 대하여 [math]\displaystyle{ f:X\rightarrow Y }[/math] 는 다음을 만족할 경우 연속함수이다.

[math]\displaystyle{ \forall{A\underset{\text{open}}{\subseteq}Y},\;\;f^{-1}(A)\underset{\text{open}}{\subseteq}X }[/math], where [math]\displaystyle{ f^{-1}(A):=\{x\in X~|~f(x)\in A\} }[/math]

실수공간에 표준적인 위상을 정의하고 따져보면 처음의 정의와 이 정의가 동치가 된다. 즉, 이 정의가 해석학에서의 연속함수 정의의 상위호환이다. 위상공간의 조건이 매우 약하기때문에 집합이기만 하면 위상공간의 정의가 가능하며, 위상공간이 정의되면 위 정의에 의해 연속함수도 정의된다. 즉, 이 정의로 인해 '연속적이다'라는 직관과 동떨어진 수많은 연속함수들이 탄생하였다. (...)

연속함수의 중요성

위상수학이 연속함수를 다루는 학문이라고 해도 무방할 정도로, 연속함수는 위상에서 매우 중요한 역할을 한다. 먼저 처음 배우는 일반위상에서, 연속함수는 많은 위상적 성질을 보존한다. 예를 들어:[1]

• 컴팩트성
• 수열의 수렴성
• Connectedness and path connectedness
• sequential compactness
• Countable compactness
• σ-compactness
• Lindelöf property and separability

하지만 다음과 같은 성질은 보존되지는 않는다:

• 열림 또는 닫힘: 열린 함수와 닫힌 함수의 정의가 의미를 가지도록 한다. 함수의 열림/닫힘과 연속성은 무관하며, 이 사실은 거리공간에 국한했을 때에도 성립한다.
• locally (path) connected, locally compact, Hausdorffness

연속함수는 Top category의 morphism으로, 범주론적 접근을 가능하게 한다. 게다가 범주론의 여러 확장들은 위상수학에서 모티브를 얻었으며, (이름이 같으면) 위상수학에서의 정의를 포함한다.

또한 어떤 함수가 bicontinuous이면, 즉 원래 함수(전단사)와 그 역함수가 모두 연속이면, 이를 위상동형(homeomorphism)이라고 부르며, 위에서 보존하지 않던 위상적 성질도 보존하게 된다. 이는 Top의 isomorphism이다.