에우클레이데스

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그리스의 수학자

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유클리드(영어: Euclid, 혹은 알렉산드리아의 에우클리에디스(Εὐκλείδης ὁ Ἀλεξανδρεὺς(에우클레이데스 호 알렉산드레우스)}, 기원전 325년 경~기원전 265년 경)는 고대 그리스 또는 고대 이집트의 수학자이다. 프톨레마이오스 1세 소테르의 재위 기간(기원전 323년~기원전 283년)동안 프톨레마이오스 1세 소테르의 부탁으로 최초의 대학이자 도서관, 박물관이라고 불리는 알렉산드리아 대학에서 활동하였고 당시 알려진 정수론 및 기하학을 체계적으로 정리한 《유클리드의 원론》을 집대성한 업적을 가장 높게 평가받고 있다. 다른 이름으로 기하학 원본이라고 불리기도 한다.(원본은 그리스어로 문자라는 뜻이다.)

흔히 수학에는 왕도가 없다는 말로도 유명하다.

원론

이와 관련한 내용은 유클리드 원론에서 볼 수 있습니다.

• 공리체계 : 유클리드 기하학을 대표하는 5개의 공리체계이다. 일단 내용 자체만 보면 너무나 쉬운 내용들이다. 아래의 다섯가지 내용만 가지고 이루어지는 기하학을 유클리드 기하학이라고 하기도 한다.

1. 두 점이 주어졌을 때, 그 두 점을 통과하는 직선을 그을 수 있다.
2. 임의의 선분을 직선으로 연장할 수 있다.
3. 한 점을 중심으로 임의의 반경의 원을 그릴 수 있다.
4. 모든 직각은 서로 같다.
5. 임의의 직선이 두 직선과 교차할 때, 교차되는 각의 내각의 합이 두 직각(180도)보다 작을 때, 두 직선을 계속 연장하면 두 각의 합이 두 직각보다 작은 쪽에서 교차한다

문제의 5번째 공리

위의 5가지 공리를 보면 죄다 너무나 당연한 이야기들로 보인다. 특히 1~4번 공리는 딱히 의심할 여지가 없을 정도로 직관적이라는 것. 문제는 말이 긴(...) 5번째 공리(평행선의 공리라고도 한다)인데, 어찌보면 너무나 당연해 보이는데 앞의 4가지 공리와는 달리 직관적이지 못해서 무언가 모순이 있는 게 아닌가 싶은 의심이 들게 만들어진 문구라는 것이다.역시나 말이 길어지면 뭔가 걸린다

이 제 5공리를 가지고 영국의 플레이페어가 발견한 공리(일명 플레이페어 공리)가 있는데, 이는

“

직선 밖의 한 점을 지나는 직선 중 평행한 직선은 오직 하나뿐이다

“

이다. 도찐개찐

문제는 이 플레이페어 공리 역시 뭔지는 알겠는데(그려보면 바로 감이 온다) 이 당시쯤 되면 수학의 증명이 슬슬 중요해지기 시작하는 시기라서 수많은 수학자들이 이 공리를 증명하고자 덤벼들게 된 것.

이 공리가 의심을 사게된 이유는 이것이 무한에 관한것을 내포한다는 점 때문이다. 그러니까 내각의 합이 180도 보다 작으면 두 직선이 만나긴 만나는데 도대체 어디서 만나냐는 것. 내각의 합을 180도에 근접시키면 시킬수록 두 직선의 만나는 점도 무한히 멀어져 간다. 따라서 우리가 이 명제가 실제인가를 관측하는데는 무한히 작은각을 관측할 수 있는 각도기와 무한히 긴 자가 필요하게 된다. 그러니 이게 과연 공리로서 받아들일 수 있었겠는가?(여기서의 공리는 유클리드가 가장 처음 사용한 공리로서의 의미이다. 즉 우리세계에서 의심할 여지가 없는 사실. 현재는 좀 더 넒은 의미로서 쓰인다. 주의해서 써야 할 용어중 하나)

한 편 이 공리를 증명시도 과정에서 수학사의 중요한 전환점이 나타나게 되는데 그것이 바로 비유클리드 기하학이다. 직선적인 증명방법으로는 아무리 해도 증명 할 수 없으니 아니라고 하고 모순을 찾는 시도(귀류법)가 생겨나게 되었다. 하지만 그러한 결과들은 비록 기존의 인식과는 다르긴 했지만 논리적으로서는 모순이 없었다. 따라서 공리라는 개념 그 자체가 의심받게 되는데, 즉 공리라고 불리는 자명한것 조차 믿을 수 없다는 것.따라서 유클리드 기하학의 공리가 아닌 다른 공리들을 취한 비유클리드 기하학이란것도 말을 할수 가 있게 된것이다. 가장 첫번째로 나온 비유클리드 기하학인 쌍곡기하학(1~4번째 공리는 놔두고 5번째 공리만을 거꾸로 취했다. 구 내부에서 그리는 기하학이라고 보면 된다.)이 상대성이론에 응용이 된다는걸 생각해보면 그럴듯하다.

결국 이 공리의 증명 노력은 나머지 공리들로서는 증명할 수 없다 라는 게 증명되면서 끝나게 된다.