함수의 극한

역사

극한 항목에도 설명이 되어있지만, 극한이라는 개념은 고대 그리스 시절 부터 존재해 왔다. 특히, 함수의 극한은 뉴턴이 미적분학을 만들면서 본격적으로 발전하기 시작하였다. 그러나 당시에는 엄밀한 수학적 증명보다는 직관에 의존하였다. 이는 물리학에서는 크게 문제가 되진 않았을지 몰라도, 수학에서는 상당한 문제가 되었다. 이를 해결하기 위해선 극한의 수학적인 엄밀한 정의가 필요하게 되었고, 이는 볼자노, 코시, 바이어슈트라우스에 의해 완성되었다.

정의

직관적인 정의

[math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 어떤 값 [math]\displaystyle{ c }[/math]에 가까워 지면 함숫값 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]도 어떤 값 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 가까워진다 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 수렴한다고 하며,

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]

로 표기한다. 만약 수렴하지 않으면 발산한다.

고등학교에서 가르치는 직관에 의존하는 정의. 앞서 말했듯이 이 정의는 엄밀하지 않다. 디레클레 함수 같은 경우에는 함숫값이 뭘로 다가가는지 어떻게 아는가?

엄밀한 정의

수열과 비슷하게 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법을 사용한다.

모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하게하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

위에서 중요한 것은 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]인데, [math]\displaystyle{ \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이 아닌 이유는 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 함숫값이 존재하지 않아도 극한값은 존재할 수 있기 때문이다. 반면, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]는 안된다.

한쪽 극한

함수에 따라서는 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 왼쪽에서 다가오냐, 오른쪽에서 다가오냐에 따라 극한값이 다를 수도 있다. [math]\displaystyle{ x/ }[/math]가 왼쪽에서 다가올 때의 극한값을 좌극한, 오른쪽에서 다가올 때의 극한값을 우극한이라 부른며, 정의는 다음과 같다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c\lt x\lt c+\delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 우극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c-\delta\lt x\lt c }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 좌극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^-}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

극한값이 존재한다는 명제와 좌극한, 우극한이 존재하며, 그 값이 같다는 명제는 서로 동치이다. 엡실론-델타를 사용하면 각각 한 줄 짜리 증명이므로 생략한다.

무한

극한값이 무한대인 경우는 어떻게 정의할까? 마찬가지로 엡실론-델타를 쓰긴하나 살짝 변형된 형태를 사용한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

한쪽 극한에 대한 경우는 생략한다.

[math]\displaystyle{ x }[/math]가 무한대로 가는 경우의 극한값도 변형된 엡실론-델타 논법을 사용한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\gt M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]이 존재한다고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=L }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x\lt -M }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]이 존재한다고 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=L }[/math]로 정의한다.

마지막으로 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 무한대로 갈 때 극한값도 무한대로 가는 경우의 정의는 다음과 같다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\gt K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\lt -K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\gt K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

임의의 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ x\lt -K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt -M }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ K\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=-\infty }[/math]로 정의한다.

다변수 함수

다변수 함수에서도 일변수 함수와 비슷하게 엡실론-델타 논법으로 극한을 정의한다.

[math]\displaystyle{ f:A_{A\subset\mathbb{R}^n}\mapsto\mathbb{R}^m }[/math]로 정의하고, [math]\displaystyle{ \mathbf{{x_0}} }[/math]를 정의역 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 내부, 혹은 경계의 원소라 하자. 그럼 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left\|\mathbf{x}-\mathbf{{x_0}}\right\|\lt \delta,\,\forall\mathbf{x}\in A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left\|f\left(\mathbf{x}\right)-L\right\|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ \lim_{\mathbf{x}\to\mathbf{{x_0}}}f\left(\mathbf{x}\right)=L }[/math]로 정의한다.

성질

유일성

"함수의 극한값이 두 개가 될 수 있을까?"라는 질문을 박살내주는 성질. 고등학교에서도 증명은 하지 않고 배우겠지만, 함수의 극한값은 유일하다.

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_2 }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]임을 증명하면 된다. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. [math]\displaystyle{ x_0\in N^*_{\delta_1}\left(c\right)\cap N^*_{\delta_2}\left(c\right) }[/math]인 [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]를 고른다. 그럼, 삼각부등식에 의해

[math]\displaystyle{ \left|L_1-L_2\right|=\left|L_1-f\left(x_0\right)+f\left(x_0\right)-L_2\right|\leq\left|L_1-f\left(x_0\right)\right|+\left|f\left(x_0\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]

이다. 이는 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 성립하므로, 이를 만족하기 위해서는 [math]\displaystyle{ L_1=L_2 }[/math]이어야 한다.

기본 연산

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L_1,\,\lim_{x\to c}g\left(x\right)=L_2 }[/math]라 하자. 그럼 다음이 성립한다.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)+g\left(x\right)=L_1+L_2 }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)g\left(x\right)=L_1L_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}\frac{1}{g\left(x\right)}=\frac{1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0 }[/math]

각각의 증명은 다음과 같다. 수열의 극한과 대체로 비슷하다.

1. 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2} }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)+g\left(x\right)-L_1-L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]이다.
2. [math]\displaystyle{ g }[/math]가 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 수렴하므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 [math]\displaystyle{ N^*_{\delta_1}\left(c\right) }[/math]에서 유계이다. 즉, 적당한 [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)\right|\lt M,\,\forall x\in N^*_{\delta_1}\left(c\right) }[/math]. 또한, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L_1\right|\lt \frac{\varepsilon}{2M} }[/math]이다. 그리고 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_3\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_3 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1} }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2,\delta_3\right) }[/math]로 정의하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1L_2\right|=\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)+L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right|\leq\left|f\left(x\right)g\left(x\right)-L_1g\left(x\right)\right|+\left|L_1g\left(x\right)-L_1L_2\right| }[/math]
   [math]\displaystyle{ =\left|g\left(x\right)\right|\left|f\left(x\right)-L_1\right|+\left|L_1\right|\left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt M\cdot\frac{\varepsilon}{2M}+\left|L_1\right|\cdot\frac{\varepsilon}{2\left|L_1\right|+1}\lt \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon }[/math]이다.
3. [math]\displaystyle{ L_2\neq0 }[/math]이므로, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\left|L_2\right|}{2} }[/math]이다. 이를 삼각부등식을 활용해 잘 전개해 주면, [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)\right|\gt \frac{\left|L_2\right|}{2} }[/math]를 얻는다. 이제 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_2\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta_2 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|g\left(x\right)-L_2\right|\lt \frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon }[/math]이다. 이제 [math]\displaystyle{ \delta=\min\left(\delta_1,\delta_2\right) }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \left|\frac{1}{g\left(x\right)}-\frac{1}{L_2}\right|=\frac{1}{\left|L_2g\left(x\right)\right|}\left|g\left(x\right)-L_2\right|\leq\frac{2}{\left|L_2\right|^2}\frac{\left|L_2\right|^2}{2}\varepsilon=\varepsilon }[/math]이다.

위 세 기본 연산을 사용하면 아래 세 따름정리를 증명할 수 있다. 증명은 생략한다.

1. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}kf\left(x\right)=kL_1,\,k\in\mathbb{R} }[/math]
2. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)-g\left(x\right)=L_1-L_2 }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{L_1}{L_2},\text{ if }L_2\neq0 }[/math]