항등식

개요

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 [math]\displaystyle{ ax+b=0 }[/math]같은 식도 [math]\displaystyle{ a=b=0 }[/math]라는 조건이 주어지면 항등식이 된다. 조건을 항상 잘 확인하자.

예시

삼각함수

• [math]\displaystyle{ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 }[/math]
• [math]\displaystyle{ 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta }[/math]
• [math]\displaystyle{ 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta }[/math]

지수

• [math]\displaystyle{ x^{a+b}=x^ax^b }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(x^a\right)^b=x^{ab} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \left(x\cdot y\right)^n=x^n\cdot y^n }[/math]

로그

• [math]\displaystyle{ \log{ab}=\log{a}+\log{b} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \log{a/b}=\log{a}-\log{b} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \log{a^n}=n\log{a} }[/math]

미정계수법

[math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 등식 [math]\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0 }[/math]이 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math]\displaystyle{ a_n=a_{n-1}=\cdots=a_1=a_0=0 }[/math]이다. 비슷하게 [math]\displaystyle{ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0 }[/math]이 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 [math]\displaystyle{ a_0=b_0,a_1=b_1,\cdots,a_{n-1}=b_{n-1},a_n=b_n }[/math]이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.

1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.

2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[* 보통 0이나 1을 대입한다.] 방정식을 푸는 방법. 숫자 대입하는 게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.

관련 항목

• 오일러의 등식
• 곱셈 공식, 인수분해(의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다.)
• 방정식