하우스도르프 공간

정의

위상공간 X의 서로 다른 임의의 점 [math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U, b\in V }[/math]이면 X를 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 또는 [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] 공간이라고 한다.

예시

• 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

성질

• 하우스도르프 공간에서 수렴하는 점열의 극한값은 유일하다.

하우스도르프 공간 X에서 수렴하는 점열 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 서로 다른 극한값이 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 서로소인 [math]\displaystyle{ O_a,O_b\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in O_a , b\in O_b }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ N_a,N_b\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N_a , n \gt N_b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a , x_n \in O_b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n \gt \max\{N_a,N_b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a \cap O_b }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ O_a, O_b }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ O_a \cap O_b = \emptyset }[/math]이고, 원소가 공집합에 포함된다는 것은 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 위상적 성질이다.

위상공간 \(X\)가 하우스도르프 공간이고 \(Y\)가 위상공간이며, \(f:X\to Y\)는 위상동형사상이라고 하자. 그러면 임의의 \(y_1,y_2\in Y\)에 대해 \(f^{-1}\)이 존재하므로 \(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\in X\)가 존재한다. \(y_1\ne y_2\)이면 \(f^{-1}\)이 일대일 함수이기 때문에 \(f^{-1}(y_1)\ne f^{-1}(y_2)\)이므로 하우스도르프 공간의 정의에 의해 열린 집합 \(U,V\in X\)가 존재해 \(f^{-1}(y_1)\in U,f^{-1}(y_2)\in V\)이고 \(U \cap V=\emptyset\)이다. 그러면 \(y_1=f(f^{-1}(y_1))\in f(U)\)이고 \(y_2=f(f^{-1}(y_2))\in f(V)\)이다. \(f^{-1}\)이 연속이므로, \(f\)는 열린 사상이고 따라서 \(f(U),f(V)\)는 열린 집합이다. \(y'\in f(U)\cap f(V)\)인 \(y'\in Y\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(y'\in f(U)\)이고 \(y'\in f(V)\)이므로 \(y'=f(x_U),y'=f(x_V)\)인 \(x_U\in U, x_V\in V\)가 존재하고, \(U,V\)가 서로소이므로 \(x_U\ne x_V\)이다. 즉 \(f\)가 일대일 함수라는 것에 모순이므로 \(f(U)\cap f(V)=\emptyset\)이어야 한다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 계승적 성질이다.

하우스도르프 공간 \(X\)의 부분공간을 \(A\)라고 하자. 그러면 임의의 \(a,b\in A\)에 대해 서로소인 열린 집합 \(U,V\)가 존재해 \(a\in U,b\in V\)이다. 그러면 임의의 \(a,b\in A\)에 대해 \(U\cap A,V\cap A\)는 \(A\)에서 서로소인 열린 집합이고 \(a\in U\cap A,b\in V\cap A\)이다. 따라서 \(A\)는 하우스도르프 공간이다.