중간값 정리

진술

중간값 정리(Intermediate-value Theorem)는 연속함수의 어느 닫힌 구간의 두 끝점을 잡으면 그 끝점의 함숫값 사이의 값을 함수값으로 가지는 점이 그 구간에 있다는, 그림으로 그리면 너무나 당연해 보이는 명제다. 고등학교에서는 직관적에 의존하는 설명만 하고 증명 없이 넘어가지만, 해석학에선 엄밀한 증명을 하고 넘어간다. 정리를 수학적으로 나타내면 다음과 같다.

[math]\displaystyle{ a,b }[/math]를 [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math]인 실수라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]이 닫힌 구간 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이라고 하자. 임의의 실수 \(k\)에 대해 [math]\displaystyle{ f(a)\lt k\lt f(b) }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ f(b)\lt k\lt f(a) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(c)=k }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다.

여기서는 수열과 엡실론-델타 논법을 사용한 증명을 소개한다. 폐구간 수렴 정리를 이용한 증명도 존재하나, 조금 지저분하다.

도움정리

1. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

증명

[math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이라 가정하자. \(f\)가 \(x_0\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \varepsilon=\tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ \left|x-x_0\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-f\left(x_0\right)\right|\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right) }[/math]이다. 부등호를 전개하여 정리하면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]을 얻는다. [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]일 때도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

2. \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left[x_0,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 우연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left[x_0,x_0+\delta\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

3. \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\gt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\gt 0 }[/math]이다. 비슷하게, \(f\)가 \(x_0\)에서 좌연속이고 [math]\displaystyle{ f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이면, 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하여 [math]\displaystyle{ x\in\left(x_0-\delta,x_0\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f\left(x\right)\lt \tfrac{1}{2}f\left(x_0\right)\lt 0 }[/math]이다.

2번과 3번의 증명은 1번과 거의 동일하므로 생략한다.

본증명

[math]\displaystyle{ f\left(a\right)\lt k\lt f\left(b\right) }[/math]라고 가정하자. 다른 경우의 증명은 비슷하므로 직접 해보자. [math]\displaystyle{ g\left(x\right):=f\left(x\right)-k }[/math]으로 정의하자. 그럼, [math]\displaystyle{ g\left(a\right)=f\left(a\right)-k\lt 0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ g\left(b\right)=f\left(b\right)-k\gt 0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ c=\sup\left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]이라 정의하자. 그럼 \(g\)는 연속이므로, 도움정리에 의해 [math]\displaystyle{ x\in\left[a,a+\delta_1\right) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\lt 0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\in\left(b-\delta_2,b\right] }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\gt 0 }[/math]이게 하는 적당한 [math]\displaystyle{ \delta_1,\delta_2\gt 0 }[/math]가 존재한다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ a\lt c\lt b }[/math]임을 증명한다.

한편, [math]\displaystyle{ c\lt x\leq b }[/math]이면 [math]\displaystyle{ g\left(x\right)\geq0 }[/math]이다. 만약 이게 성립하지 않는다면, \(c\)의 정의에 모순이 되기 때문. 따라서, [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}g\left(x\right)\geq0 }[/math]이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ g\left(c\right)\geq0 }[/math]이다.

이제, [math]\displaystyle{ x_n\lt c,\,\lim_{n\to\infty}x_n=c }[/math]이고, [math]\displaystyle{ g\left(x_n\right) }[/math]인 구간 [math]\displaystyle{ \left[a,b\right] }[/math]안의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{x_n\right\} }[/math]을 고르자. 만약 이런 수열이 존재하지 않는다면, 집합 [math]\displaystyle{ \left\{x\in\left[a,b\right]|g\left(x\right)\lt 0\right\} }[/math]은 \(c\)보다 작은 상계를 가지고, 이는 \(c\)의 정의에 모순이다. \(g\)는 \(c\)에서 연속이므로, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}g\left(x_n\right)=g\left(c\right)\leq0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ g\left(c\right)\geq0 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ g\left(c\right)\leq0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g\left(c\right)=0 }[/math]이고, 이는 즉 [math]\displaystyle{ f\left(c\right)=k }[/math]임을 의미한다.

활용

고교과정에서 자주 쓰이는 활용으로는 방정식의 근의 위치를 추정하는 것이 있다. 만약 [math]\displaystyle{ f\left(a\right)\gt 0,f\left(b\right)\lt 0 }[/math] (혹은 그 반대)이고 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 연속이면 [math]\displaystyle{ \left(a,b\right) }[/math]사이에 근을 적어도 하나 가진다. 왜냐하면 0이 [math]\displaystyle{ f\left(a\right) }[/math]와 [math]\displaystyle{ f\left(b\right) }[/math]사이에 존재하기 때문. 하지만 이것만으로는 근의 개수를 알 수 없다.

실생활에서 쓰일만한 또다른 활용은 테이블이 흔들리지 않게 하는 위치를 찾는 것이 있다. 테이블을 바닥에 두고 돌리면, 90도 이내에 테이블이 흔들리지 않는 위치가 존재하게 된다. 주의할 점은, 테이블의 세 점을 바닥에 붙인 다음에 돌려야 한다는 것이다. 증명은 일단 중간값의 정리를 사용하긴 하는데, 상당히 까다롭다. 보고싶은 사람은 여기로 (영어).

중간값 성질과 다르부 함수

중간값 정리의 역은 성립하지 않는다. 가장 대표적인 예로, 어떤 함수의 도함수는 불연속일지라도 중간값 성질(intermediate value property), 즉

[math]\displaystyle{ f(a)\lt k\lt f(b) }[/math]또는 [math]\displaystyle{ f(b)\lt k\lt f(a) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(c)=k }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재함

을 만족시킨다. (이를 다르부 정리라고 한다.) 이에서 이름을 따와, 중간값 성질을 만족시키는 함수를 다르부 함수(Darboux function)라고 한다. 모든 점에서 불연속인 다르부 함수도 있는데, 예를 들어 콘웨이 13진법 함수 등이 있다.