젠센 부등식

젠센 부등식(Jensen's Inequality)은 볼록함수와 오목함수에 관련된 부등식 중 하나로, 덴마크의 수학자 요한 옌센(Johan Jensen)에 의해 1906년에 증명되었다. 수학 경시대회에서 볼록함수나 오목함수가 나온다면 제일 먼저 시도해 봐야할 정도로 활용도가 높은 부등식. 여기서 볼록함수와 오목함수는 모두 아래로 볼록/오목인 함수를 나타내는 것으로 생각하자. 정확한 정의는 볼록함수와 오목함수를 참조.

명제

함수 [math]\displaystyle{ f:I\to\mathbb{R} }[/math]이 볼록함수라고 가정하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n\in I }[/math]와 [math]\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1 }[/math]을 만족하는 임의의 음이 아닌 실수 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \lambda_1f\left(x_1\right)+\lambda_2f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_nf\left(x_n\right)\geq f\left(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n\right) }[/math]이 성립한다. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 오목함수라면, 부등호의 방향이 반대이다.

한 줄로 표현하면, [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\lambda_if\left(x_i\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^n\lambda_ix_i\right) }[/math]이다. 가장 잘 알려진 증명은 수학적 귀납법을 사용한 증명이며, 다음과 같다.

증명

[math]\displaystyle{ n=2 }[/math]이면, 볼록함수의 정의에 의해 쉽게 유도된다.

이제, 적당한 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해 명제가 성립한다고 가정하자. 이제, [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]부터 [math]\displaystyle{ \lambda_{n+1} }[/math] 중에 적어도 하나는 양수여야 한다. 일반성을 잃지 않고 [math]\displaystyle{ \lambda_1\gt 0 }[/math]이라 가정하자. 그럼, 다시 한번 볼록함수의 정의에 의해,

[math]\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\right)=f\left(\lambda_1x_1+\left(1-\lambda_1\right)\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right) }[/math]

한편, [math]\displaystyle{ \sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}=1 }[/math]이므로, 귀납 가정을 사용하면,

[math]\displaystyle{ f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}f\left(x_i\right) }[/math]

따라서,

[math]\displaystyle{ f\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_ix_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)f\left(\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}x_i\right)\leq\lambda_1f\left(x_1\right)+\left(1-\lambda_1\right)\sum_{i=2}^{n+1}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_1}f\left(x_i\right)=\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_if\left(x_i\right) }[/math]

명제가 [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]일 때도 성립하므로, 수학적 귀납법에 의해 증명하고자 하는 바가 증명되었다. [math]\displaystyle{ f }[/math]가 오목함수일 때는 부등호 방향이 전부 반대일 뿐, 증명은 동일하다.

일반화

함수 [math]\displaystyle{ f:I\to\mathbb{R} }[/math]이 볼록함수라고 가정하자. 그럼, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2,\ldots,x_n\in I }[/math]와 임의의 음이 아닌 실수 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ \lambda_1f\left(x_1\right)+\lambda_2f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_nf\left(x_n\right)\geq \left(\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n\right)f\left(\frac{\lambda_1x_1+\lambda_2x_2+\cdots+\lambda_nx_n}{\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n}\right) }[/math]이 성립한다. 만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 오목함수라면, 부등호의 방향이 반대이다.

증명

[math]\displaystyle{ \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\alpha }[/math]라 하자. 그럼, [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{\alpha}=1 }[/math]이므로, 위 젠센 부등식을 사용할 수 있다. 즉,

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{\lambda_i}{\alpha}f\left(x_i\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^n\frac{\lambda_ix_i}{\alpha}\right) }[/math]

양변에 [math]\displaystyle{ \alpha }[/math]를 곱하면, 원하는 부등식이 증명된다.

참고로 등호는 [math]\displaystyle{ x_1=x_2=\cdots=x_n }[/math]이거나 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 선형 함수일 때 성립한다.

활용

산술-기하평균 부등식을 간단히 증명할 수 있다. [math]\displaystyle{ f\left(x\right)=\ln x }[/math]는 오목함수이므로, [math]\displaystyle{ \lambda_i=\frac{1}{n} }[/math]에 대해, 젠센 부등식을 사용하면,

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\ln\left(x_i\right)\leq\ln\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}x_i\right) }[/math]

이고, 로그의 성질을 이용해 잘 정리하면,

[math]\displaystyle{ \ln\left(\left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}\right)\leq\ln\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}x_i\right) }[/math]

이다. 그런데 자연로그 함수는 증가함수이므로, [math]\displaystyle{ \left(x_1x_2\cdots x_n\right)^{\frac{1}{n}}\leq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n} }[/math]. 따라서 GM≤AM.