제타 함수 조절

제타 함수 조절(제타 함수 규칙화, zeta function regularization)은 원래 합으로 정의되던 제타 함수를 해석적 연속으로 확장한 것처럼, 다른 수렴하지 않는 급수들을 제타 함수를 이용하여 표현한 뒤 그 값을 계산하는 방법이다.

진술

수렴하지 않는 합

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}f(n) }[/math]

을 고려하고, [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]는 정칙이라고 하자. (해석적 연속을 취하기 위함이다.) 이때 [math]\displaystyle{ s=0 }[/math]에서 특이점을 제거할 수 있으면, 원래의 합을 다음으로 재정의한다:

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}f(n)n^{-s}\xrightarrow[s\to 0]{\text{with analytic continuation}}: \sum_{n\ge 1}f(n) . }[/math]

예시

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}n^k }[/math]

에 규칙자 [math]\displaystyle{ n^{-s} }[/math]를 곱하면, 이는 [math]\displaystyle{ s \gt k+1 }[/math]일 때 수렴하고, 이를 해석적 연속을 이용하여

[math]\displaystyle{ \sum_{n\ge 1}n^{k-s} = \zeta({s-k}) \xrightarrow{s \to 0} \zeta (-k) = -\frac{B_{k+1}}{k+1} }[/math]

로 regularization할 수 있다.