급수

어떤 수열 [math]\displaystyle{ \left\{a_n\right\} }[/math]이 주어졌을 때, 이 수열의 합을 나타낸 것을 급수(級數, Series)라 한다. 등차수열이나 등비수열의 합도 급수의 일종. 보통은 특정한 규칙성이 있는 수열의 합 만을 다루지만, 규칙이 반드시 존재할 필요는 없다. 아무렇게나 숫자를 나열한 수열을 만든 뒤, 그 수열의 합을 구한 것도 급수. 유한한 항을 더하냐 무한한 항을 더하냐에 따라 유한급수와 무한급수로 나뉘며, 보통은 무한급수를 좀 더 심도있게 다룬다. 고등학교에서는 무한대로 발산하거나 특정한 값으로 수렴하는 급수만을 다루지만, 모든 무한급수의 값을 구할 수 있는 것은 아니다. 때로는 수렴하는지 발산하는지만 알 수도 있고, 어떤 때는 그 조차도 모르는 경우도 있다.

급수를 표현할 때는 대문자 시그마 기호(Σ)를 쓴다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]

시그마 기호는 더한다는 뜻이고, 기호 밑의 [math]\displaystyle{ k=1 }[/math]은 몇 번째 항부터 시작하는지, 기호 위의 [math]\displaystyle{ n }[/math]은 몇 번째 항에서 끝나는 지를 의미한다. [math]\displaystyle{ n }[/math]이 [math]\displaystyle{ \infty }[/math]로 바뀔 수도 있으며, 이런 경우에는 무한 급수가 된다. 마지막으로 [math]\displaystyle{ a_k }[/math]은 더하는 수열의 항을 나타낸다.

유한 급수

더하는 항의 개수가 유한한 급수. 특별히 중요한 내용은 없으며, 주요 성질은 다음과 같다.

1. [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\left(a_k\pm b_k\right)=\sum_{k=1}^{n}a_k\pm\sum_{k=1}^{n}b_k }[/math] (복호동순)
2. [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}ca_k=c\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]
3. [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}c=cn }[/math]

증명은 각 급수를 전개한 뒤에 정리해 주면 되므로 생략한다.

무한 급수

더하는 항의 개수가 무한한 급수. 그런데 항을 막연히 무한히 더한다는 것은 수학적으로 엄밀하지 못한 설명이기 때문에 부분합을 이용해 설명한다. 즉, [math]\displaystyle{ n }[/math]항까지의 합 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]을 그 수열의 부분합이라 부르며, 여기서 극한을 취한 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]를 무한 급수의 값으로 정의한다. 즉, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}a_k }[/math]. 또한, 부분합의 수열 [math]\displaystyle{ \left\{S_n\right\} }[/math]이 수렴한다는 것과 무한 급수의 합이 존재한다는 명제는 동치이다.

무한 급수도 위 유한 급수의 1번과 2번 성질이 성립하는데, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n,\,\sum_{n=1}^{\infty}b_n }[/math]가 수렴한다는 조건이 붙어야 한다.

그런데 어떤 무한 급수가 수렴하는지 발산하는지는 어떻게 알까? 이에 대해서는 무한급수의 수렴판정법 항목을 참조하자.

절대 수렴과 조건 수렴

무한 급수 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]도 반드시 수렴하게 된다. 이런 경우, 이 급수는 절대 수렴한다고 한다. 반면, [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]는 수렴하는데 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_n\right| }[/math]은 수렴하지 않는 경우가 있다. 이런 경우에는 조건 수렴한다고 한다.

절대수렴하는 급수의 성질

• 절대수렴하는 급수는 항을 더하는 순서를 바꿔도 합이 달라지지 않는다.
• 절대수렴하는 급수끼리 더하거나, 빼거나, 곱할 수 있고(항끼리 연산함), 그 결과 나온 급수 또한 절대수렴한다.
• 절대수렴하는 급수끼리 곱해서 나온 급수의 합은 곱하기 전의 두 급수의 합을 곱한 것과 같다.

급수의 예

• 등비급수: 등비수열을 항으로 가지는 급수.
  • 무한등비급수: 등비수열의 항을 무한히 더한 급수. 공비를 [math]\displaystyle{ r }[/math]이라 하면 [math]\displaystyle{ \left|r\right|\lt 1 }[/math]일 때 수렴함이 알려져있다.
• 조화급수: 조화수열을 항으로 가지는 급수.
• P-급수: [math]\displaystyle{ \frac{1}{n^p} }[/math]를 항으로 가지는 급수. [math]\displaystyle{ p\gt 1 }[/math]이면 수렴함이, [math]\displaystyle{ p\leq1 }[/math]이면 발산함이 알려져 있으며, 수렴한다는 사실은 알아도 수렴값은 모르는 경우가 많다. 이름의 P는 지수의 Power에서 따왔다.
• 교대급수: 각 항의 부호가 양, 음으로 바뀌는 급수. 교대급수가 수렴하기 위해서는 교대급수판정법을 만족시키면 된다.
• Telescoping 급수: 부분적 항들의 합이 소거되어 특정한 고정된 값이 나오는 급수를 말한다. 예시로는 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\left(n+1\right)} }[/math]이 있으며, 부분 분수를 사용해 분리해 보면 각 항을 더할 때마다 소거되는 부분이 보일 것이다. 중요한 것은, [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}S_{2n}=\lim_{n\to\infty}S_{2n-1} }[/math]을 만족시켜야 수렴한다. 그렇지 않으면 "[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(-1\right)^n }[/math]은 수렴한다"와 같은 오류를 범할 수도 있다.
• 테일러 급수, 맥클로린 급수: 항목 참조.

관련 항목

• 수열
• 극한
• 테일러 급수