틀:학술 틀:토막글 일반항 판정법(limit term test, term test)는 일반항을 이용해 수열의 수렴 여부를 판정하는 정리이다.
진술
수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴하면 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n = 0 }[/math]이다.
증명
[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]이 수렴한다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]의 부분합 [math]\displaystyle{ S_n=\sum_{i=1}^n a_i }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_n = S }[/math]인 [math]\displaystyle{ S }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_n=S }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 자연수 [math]\displaystyle{ N }[/math]이 존재해 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ |S_n - S| \lt \varepsilon }[/math]이다. 여기서 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ N+1 }[/math]을 설정하면 임의의 [math]\displaystyle{ n \gt N+1 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ n-1 \gt N }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ |S_{n-1} - S|\lt \varepsilon }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}S_{n-1}=S }[/math]이다. [math]\displaystyle{ a_n=S_n-S_{n-1} }[/math]이고 [math]\displaystyle{ (S_n),(S_{n-1}) }[/math]이 모두 수렴하므로 수열의 극한의 기본 성질에 의해
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \lim_{n\to\infty}a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n - S_{n-1})\\ &=\lim_{n\to \infty} S_n - \lim_{n\to \infty}S_{n-1}\\ &= S- S\\ &=0 \end{align} }[/math]
으로 원하는 결과를 얻는다.
예시
일반항 판정법을 이용해 다음 급수가 발산함을 보일 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\cos n }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{n^2+1} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-2)^n }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n }[/math]
일반항 판정법의 역은 성립하지 않는다. 다시 말해 [math]\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}a_n = 0 }[/math]이라고 해서 [math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_n }[/math]가 수렴하는 것은 아니다. 예를 들어,
- [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} }[/math]은 발산한다.