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#대입법: 한 식에서 어떤 한 변수에 관해 정리해 준다 (<math>x=\cdots</math>와 같이). 그 뒤 다른 식에 이 값을 대입하면 일변수 방정식이 나온다. 그 뒤는 소거법과 동일. | #대입법: 한 식에서 어떤 한 변수에 관해 정리해 준다 (<math>x=\cdots</math>와 같이). 그 뒤 다른 식에 이 값을 대입하면 일변수 방정식이 나온다. 그 뒤는 소거법과 동일. | ||
#그래프: 이 연립방정식을 그래프로 그리면 두 직선이 된다. 두 직선의 교점을 찾으면 끝. | #그래프: 이 연립방정식을 그래프로 그리면 두 직선이 된다. 두 직선의 교점을 찾으면 끝. | ||
#[[ | #[[행렬]]: 위 방정식을 행렬로 변환하면 <math>\begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c \\ f \end{bmatrix}=0</math>이고, 이후 역행렬을 왼쪽에 곱하여 <math>x,y</math>를 구하면 된다. | ||
또한, 변수가 두 개일 경우는 그래프로 그릴 시 두 직선이 된다는 점을 이용하여 해의 존재성에 대해 경우의 수를 나눌 수 있다. | 또한, 변수가 두 개일 경우는 그래프로 그릴 시 두 직선이 된다는 점을 이용하여 해의 존재성에 대해 경우의 수를 나눌 수 있다. | ||
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수학자와 물리학자를 멘붕시키는 대표적인 요소. 일반적인 미분방정식도 풀기 힘들어서 쩔쩔매는데 그런 방정식들이 세트로 묶여있다고 생각해보자. 특히, 그냥 미분방정식도 아닌 편미분방정식이라면... | 수학자와 물리학자를 멘붕시키는 대표적인 요소. 일반적인 미분방정식도 풀기 힘들어서 쩔쩔매는데 그런 방정식들이 세트로 묶여있다고 생각해보자. 특히, 그냥 미분방정식도 아닌 편미분방정식이라면... | ||
하지만 편미분방정식이 아닌 1차 상미분 방정식으로만 이루어진 연립 미분방정식은 학부 수준의 [[미분방정식]]이나 [[선형대수학]] 수업 때 배운다. [[ | 하지만 편미분방정식이 아닌 1차 상미분 방정식으로만 이루어진 연립 미분방정식은 학부 수준의 [[미분방정식]]이나 [[선형대수학]] 수업 때 배운다. [[행렬]]과 고유값 등을 사용하며, 계산이 귀찮은건 어쩔 수 없다. | ||
연립 미분방정식의 대표적인 예는 생명체의 개체수를 나타내는 [[로지스틱 방정식]]이나 포식자와 먹이 사이의 개체수를 나타낸 방정식 등이 다. | 연립 미분방정식의 대표적인 예는 생명체의 개체수를 나타내는 [[로지스틱 방정식]]이나 포식자와 먹이 사이의 개체수를 나타낸 방정식 등이 다. | ||
2021년 4월 29일 (목) 07:24 판
연립방정식(simultaneous equation) 또는 방정식계(system of equations)는 방정식 여러 개가 세트로 묶여있는 것을 말한다. 변수가 꼭 여럿일 필요는 없고, 일변수 방정식으로만 묶여있어도 연립방정식이 된다. 하지만 일변수 방정식으로만 묶여있으면 각 방정식을 각각 푼 뒤에 공통 해를 찾기만 하면 되므로 연립방정식만의 특징을 잘 살리지 못한다. 그래서인지 보통은 여러 변수가 묶여있는 연립방정식에 대해서만 다루게 된다.
종류
연립일차방정식
중학교 때 처음 다루게 되는 식으로, 보통은 변수가 [math]\displaystyle{ x,y }[/math] 두 개일 때만을 집중적으로 다룬다. 일반적인 식은 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ \begin{cases} ax+by+c=0 \\ dx+ey+f=0 \end{cases} }[/math]
가장 간단한 형태인 만큼 풀이법도 여러 가지가 존재한다.
- 소거법: 두 변수 중 없애고 싶은 한 변수를 정한다. 그 뒤 두 식에 적절한 상수를 곱하여 없애고 싶은 변수의 계수를 맞춰준 뒤, 두 식을 빼면 일변수 방정식이 나온다. 이 방정식을 풀어 한 변수의 값을 구한 뒤, 원래 식에 넣어 다른 변수의 값도 구한다.
- 대입법: 한 식에서 어떤 한 변수에 관해 정리해 준다 ([math]\displaystyle{ x=\cdots }[/math]와 같이). 그 뒤 다른 식에 이 값을 대입하면 일변수 방정식이 나온다. 그 뒤는 소거법과 동일.
- 그래프: 이 연립방정식을 그래프로 그리면 두 직선이 된다. 두 직선의 교점을 찾으면 끝.
- 행렬: 위 방정식을 행렬로 변환하면 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} a & b \\ d & e \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} c \\ f \end{bmatrix}=0 }[/math]이고, 이후 역행렬을 왼쪽에 곱하여 [math]\displaystyle{ x,y }[/math]를 구하면 된다.
또한, 변수가 두 개일 경우는 그래프로 그릴 시 두 직선이 된다는 점을 이용하여 해의 존재성에 대해 경우의 수를 나눌 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}\neq\frac{b}{e} }[/math]: 두 그래프의 기울기가 다르기 때문에 한 점에서 만난다. 즉, 해가 유일하다.
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f} }[/math]: 두 그래프의 기울기가 같으며, 같은 점을 지나므로 해가 무수히 많다.
- [math]\displaystyle{ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}\neq\frac{c}{f} }[/math]: 두 그래프의 기울기는 같지만, 공통된 점이 없으므로 해가 없다.
위에 나열된 방법 중 그래프와 행렬은 변수가 많을 때도 사용이 가능한 일반적인 풀이법. 하지만 그래프의 경우는 변수가 세 개만 되도 삼차원 그래프를 그려야 하고, 변수가 네 개 이상이면 인간의 눈으로는 인지할 수 없는 그래프가 된다. 반면 행렬의 경우는 변수가 몇 개이든지 상관없지만, 역행렬을 구하는 과정이 길어진다.
선형대수학을 배우면 알 수 있지만, 일차 연립방정식의 해는 유일함, 무수히 많음, 존재하지 않음 이렇게 딱 세 가지 경우 밖에 존재하지 않는다. 해가 두 세트 있다던가 하는 것은 불가능 하다는 소리. 해가 유일하다는 것은 계수 행렬의 역행렬이 존재한다는 것과 동치이며, 해가 무수히 많은 경우는 식보다 미지수의 개수가 많을 때, 해가 없는 경우는 미지수보다 식이 많을 때이다.
삼원연립방정식이 있는데, 일차식 하나를 한 문자에 관해 정리하여 대입한 뒤 이원연립방정식으로 바꾸어 풀기만 하면 된다. 물론 구한 해를 나머지 한 식에 대입해야 한다. 2020년 현재는 중등교육과정에서 없어졌다.
연립이차방정식
연립이차방정식은 연립일차방정식에 비해 풀이가 많이 복잡한 편이다. 이차식+일차식 꼴은 일차식을 한 문자에 관해 정리하여 대입하여 풀며, 이차식+이차식 꼴은 이차식 하나를 인수분해하여 다른 이차식에 각각 대입하여 푼다. 고급 테크닉으로는 이 방정식에 미분을 해서 연립일차방정식으로 바꾸어 푸는 경우가 있는데, 실수하면 혹 떼려다 혹 붙이는 꼴이 되니 섣불리 따라하지 말자.
연립미분방정식
수학자와 물리학자를 멘붕시키는 대표적인 요소. 일반적인 미분방정식도 풀기 힘들어서 쩔쩔매는데 그런 방정식들이 세트로 묶여있다고 생각해보자. 특히, 그냥 미분방정식도 아닌 편미분방정식이라면...
하지만 편미분방정식이 아닌 1차 상미분 방정식으로만 이루어진 연립 미분방정식은 학부 수준의 미분방정식이나 선형대수학 수업 때 배운다. 행렬과 고유값 등을 사용하며, 계산이 귀찮은건 어쩔 수 없다.
연립 미분방정식의 대표적인 예는 생명체의 개체수를 나타내는 로지스틱 방정식이나 포식자와 먹이 사이의 개체수를 나타낸 방정식 등이 다.
활용
여러 개의 미지수를 가진 연립방정식을 간단하게 푸는 방법을 연구하기 위해 선형대수학이 만들어졌다. 이는 산업공학에서 OR의 영역으로 들어가서 각종 계산에 사용된다. 또한, 연립 미분방정식의 경우는 경제학과 같은 곳에서 현실 세계를 모델링할 때 쓰인다.