분수계 미적분학

분수계 미적분학(분수차 미적분학, fractional calculus)은 미적분학의 한 분야로, 미적분 연산자의 자연수, 정수가 아닌 복소수-계(階) (또는 실수-계) 연산을 연구한다. 학문 이름이 영 적젏하지 않은 듯하다.

개요

미분 연산자

[math]\displaystyle{ D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} }[/math]

와 적분 연산자

[math]\displaystyle{ J_x=\int_0^x \cdot \; \mathrm dx }[/math]

를 정의하고, 이하 [math]\displaystyle{ D\circ D=D^2 }[/math]과 같이 나타내자.

다항함수의 분수계 미분

[math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C) }[/math]를 분수계 미분해보자. 먼저 [math]\displaystyle{ \alpha, n }[/math]이 자연수일 때를 생각하면

[math]\displaystyle{ f=x^\alpha }[/math]
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]

임을 알 수 있다. 하지만 계승(factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 감마 함수(gamma function)이다. [math]\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb0 N _0) }[/math]이므로 정리하면

[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) }[/math]

이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다! 일례로 [math]\displaystyle{ f=x }[/math]의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 [math]\displaystyle{ \alpha=1, \; n=1/2 }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ D^{1/2}x=\frac{\mathrm d^{1/2}x}{\mathrm dx^{1/2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)} x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2} }[/math]

이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면

[math]\displaystyle{ (D^{1/2})^2x=\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} x^{1/2-1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\sqrt \pi}{2!}x^{0}=1 }[/math]

으로 예상이 맞음을 알 수 있다.

함수의 분수계 적분

[math]\displaystyle{ Jf(x)=\int_0 ^x f\;\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
파일:분수계적분.png

위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 코시의 반복 적분 공식(Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{(n-1)!}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 복소수 범위로 확장하면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

이고, 이는 다음을 보면 잘 정의되어 있다(well-defined)는 것을 알 수 있다:

Theorem. [math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f }[/math]
 
Proof.

파일:분수계적분지수.png

[math]\displaystyle{ u=\frac{t-s}{x-s} }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s) (x-s)^{\alpha+\beta - 1} \left(\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du\right)\mathrm ds }[/math]

이고, 중간 적분을 계산하면

[math]\displaystyle{ \int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du = B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} }[/math]

이다. (베타 함수) 따라서 증명이 완료된다. □

정의: 연산자

적분 연산자

미적분학의 기본 정리에서

[math]\displaystyle{ D\int_a^x f(t)\mathrm dt = f(x), \; \int_a^x Df(t)\mathrm dt = f(x)-f(a) }[/math]

임을 안다. 이를 이용하여 적분 연산자를 다음과 같이 정의하자:

[math]\displaystyle{ _a J_x = _a D_x^{-1} = \int _a ^x f(t)\mathrm dt. }[/math]

[math]\displaystyle{ a=0 }[/math]일 때에는 생략한다. 이는 [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]일 때 편리하다.