계승

階乘, Factorial, 팩토리얼, !

정의

일단 감마함수를 이용하여 [math]\displaystyle{ \displaystyle x!=\Gamma\left ( x+1 \right )=\int_{0}^{\infty}{a}^{x}{e}^{-a}da }[/math] 이렇게 정의한다.
계승이라는 엄연한 한국어 단어가 존재함에도 불구하고 "팩토리얼"이나 "팩"이라고 읽히는 수학 개념. 어떤 자연수 [math]\displaystyle{ n }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ n }[/math]의 계승은 1부터 [math]\displaystyle{ n }[/math]까지의 모든 자연수를 곱한 값이며, 기호로는 느낌표를 붙여 [math]\displaystyle{ n! }[/math]로 표기한다.

즉, [math]\displaystyle{ n!=1\times2\times3\times\cdots\times n }[/math]. 미지수 앞에 계수가 있을 경우 괄호 표기를 잘 해줘야 하는데, [math]\displaystyle{ 2n! }[/math]이라는 것이 있으면 이게 [math]\displaystyle{ 2\times (n!) }[/math]인지 [math]\displaystyle{ \left(2n\right)! }[/math]인지 헷갈리기 때문.

일단 괄호가 없다면 전자로 해석하는 것이 옳다.

일반화를 너무나도 좋아하시는 수학자들에 의해 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 자연수가 아닐 경우에 대해서도 확장이 되어 있다. 고등학교에서도 배우는 것은 바로 [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]. 1부터 0까지 곱한 것이 어떻게 1이 되냐고 물을 수 있지만, 아무것도 곱하지 않은 상태이므로 1이라고 생각하면 된다 ([math]\displaystyle{ a^0=1 }[/math] 처럼). 그리고 [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]으로 정의하면 조합론에서 몇몇 정의가 자연스러워 진다. 대표적으로 순열이나 조합. 예를 들어, [math]\displaystyle{ n }[/math]개 중에서 [math]\displaystyle{ n }[/math]개를 순서에 상관없이 뽑는 방법은 당연히 1개이다. 이를 조합 공식으로 쓰면 [math]\displaystyle{ \displaystyle \binom{n}{n}=\frac{n!}{n!0!}=\frac{1}{0!}=1 }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ 0!=1 }[/math]로 정의하면 자연스러워 진다. 0도 자연수도 아닌 경우에는 감마 함수를 이용하며, 자세한 것은 항목을 참조.

생성함수

[math]\displaystyle{ n!=\prod_{k=1}^nk=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdots\cdot3\cdot2\cdot1 }[/math]

예

팩토리얼([math]\displaystyle{ factorial }[/math])은 다음과 같은 성질을 갖는다.

[math]\displaystyle{ n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1) }[/math]

[math]\displaystyle{ n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-2))\cdot(n-(n-1)) }[/math]

[math]\displaystyle{ n! = (n-0)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-(n-1)+1)\cdot(n-(n-0)+1) }[/math]

[math]\displaystyle{ 1! = (1)=(1-1+1)=(1-(1-1))=(1-(1-0)+1)=1 }[/math]

예2

다음 일반적인 팩토리얼의 성질들은 [math]\displaystyle{ 0! }[/math]과 중복없는 순열(비 중복순열)을 조사항수있다.

[math]\displaystyle{ n! = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)\;\;,\; (0\lt k\le n) }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{k} = {}_{n}P_{k} \times { {(n-k)!} \over {(n-k)!} } }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{k} ={{ {}_{n}P_{k} \times (n-k)!} \over{(n-k)!} } }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore\; {}_{n}P_{k} ={{n!} \over{(n-k)!} } }[/math]

[math]\displaystyle{ k=n\;,\; }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{k} =(n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+2)\cdot (n-k+1) }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{n} = (n)\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(n-n+2)\cdot (n-n+1)=n! }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{(n-n)!} } }[/math]

[math]\displaystyle{ {}_{n}P_{n} ={{n!} \over{0!} } }[/math]

[math]\displaystyle{ {0!} ={{n!} \over {{}_{n}P_{n}} } }[/math]

[math]\displaystyle{ \therefore\; {0!} ={{n!} \over {n!} } \;\;(\because\;{}_{n}P_{n} ={{n!} } ) }[/math]

[math]\displaystyle{ {0!} ={1\over 1 } }[/math]

[math]\displaystyle{ {0!} =1 }[/math]

관련항목

• 자연상수