분수계 미적분학

분수계 미적분학(분수차 미적분학, fractional calculus)은 미적분학의 한 분야로, 미적분 연산자의 자연수, 정수가 아닌 복소수-계(階) (또는 실수-계) 연산을 연구한다. 학문 이름이 영 적젏하지 않은 듯하다.

개요

미분 연산자

[math]\displaystyle{ D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} }[/math]

와 적분 연산자

[math]\displaystyle{ J_x=\int_0^x \cdot \; \mathrm dx }[/math]

에 대하여 [math]\displaystyle{ D^{-1}=J, J^{-1}=D, D\circ J = J \circ D = I }[/math]라 하자. 또한 이하 [math]\displaystyle{ D\circ D=D^2 }[/math]과 같이 나타내자.

다항함수의 실수-계 미분

[math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C) }[/math]를 실수-계 미분해보자. 먼저 [math]\displaystyle{ \alpha, n }[/math]이 자연수일 때를 생각하면

[math]\displaystyle{ f=x^\alpha }[/math]
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]

임을 알 수 있다. 하지만 계승(factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 감마 함수(gamma function)이다. [math]\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0) }[/math]이므로 정리하면

[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb R) }[/math]

이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다! 일례로 [math]\displaystyle{ f=x }[/math]의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 [math]\displaystyle{ \alpha=1, \; n=1/2 }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ D^{1/2}x=\frac{\mathrm d^{1/2}x}{\mathrm dx^{1/2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)} x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2} }[/math]

이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면

[math]\displaystyle{ (D^{1/2})^2x=\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} x^{1/2-1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\sqrt \pi}{2!}x^{0}=1 }[/math]

으로 예상이 맞음을 알 수 있다.

함수의 실수-계 적분

[math]\displaystyle{ Jf(x)=\int_0 ^x f\;\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
파일:분수계적분.png

위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 코시의 반복 적분 공식(Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{(n-1)!}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 실수 범위로 확장하면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

이고, 이는 다음과 같이 잘 정의되어 있다(well-defined):

Theorem. [math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f }[/math]   Proof. 파일:분수계적분지수법칙.png [math]\displaystyle{ u=\frac{t-s}{x-s} }[/math]라 하면