분수계 미적분학

분수계 미적분학(Fractional calculus) 또는 분수차 미적분학은 미적분학의 한 분야로, 미적분 연산자의 자연수, 정수가 아닌 복소수-계(階) (또는 실수-계) 연산을 연구한다.

개요

미분 연산자

[math]\displaystyle{ D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} }[/math]

와 적분 연산자

[math]\displaystyle{ J_x=\int_0^x \cdot \; \mathrm dx }[/math]

를 정의하고, 이하 [math]\displaystyle{ D\circ D=D^2 }[/math]과 같이 나타내자.

다항함수의 분수계 미분

[math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C) }[/math]를 분수계 미분해보자. 먼저 [math]\displaystyle{ \alpha, n }[/math]이 자연수일 때를 생각하면

[math]\displaystyle{ f=x^\alpha }[/math]
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]

임을 알 수 있다. 하지만 계승(factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 감마 함수(gamma function)이다. 보통 감마 함수의 정의로 오일러 적분을 사용하므로, 감마 함수 안에 들어가는 수는 실수부가 0보다 커야 한다. [math]\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0) }[/math]이므로 정리하면

[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) }[/math]

이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다! 일례로 [math]\displaystyle{ f=x }[/math]의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 [math]\displaystyle{ \alpha=1, \; n=1/2 }[/math]를 대입하면

[math]\displaystyle{ D^{1/2}x=\frac{\mathrm d^{1/2}x}{\mathrm dx^{1/2}}=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(3/2)} x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2} }[/math]

이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면

[math]\displaystyle{ (D^{1/2})^2x=\frac{\mathrm d^{1/2}}{\mathrm dx^{1/2}}\frac{2}{\sqrt \pi}x^{1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\Gamma(3/2)}{\Gamma(1)} x^{1/2-1/2}=\frac{2}{\sqrt \pi}\frac{\sqrt \pi}{2!}x^{0}=1 }[/math]

으로 예상이 맞음을 알 수 있다.

함수의 분수계 적분

[math]\displaystyle{ Jf(x)=\int_0 ^x f\;\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ {J^n}{f(x)}=\int_0 ^x {\left( \int_0 ^{x_1} {\left( \cdots {\left( \int_0 ^{x_{n-1}} f(x_{n-1}) \; {\mathrm d}{x_{n-1}} \right)} \cdots \right)} {\mathrm d}{x_1} \right)} \mathrm dx }[/math]

위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 코시의 반복 적분 공식(Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{(n-1)!}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 복소수 범위로 확장하면

[math]\displaystyle{ J^nf = \frac{1}{\Gamma(n)}\int_0 ^x (x-t)^{n-1} f(t)\;\mathrm dt }[/math]

이고, 이는 다음을 보면 잘 정의되어 있다(well-defined)는 것을 알 수 있다:

Theorem. [math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f }[/math] ([math]\displaystyle{ \operatorname{Re}(\alpha), \operatorname{Re}(\beta)\gt 0 }[/math])
 
Proof.

[math]\displaystyle{ \begin{align} J^\alpha J^\beta f &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-t)^{\alpha-1}(J^\beta f)(t)\;\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{t=0}^{t=x} \int_{s=0} ^{s=t} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}f(s)\; \mathrm ds\;\mathrm dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s)\int_{t=s} ^{t=x} (x-t)^{\alpha-1}(t-s)^{\beta-1}\; \mathrm dt\;\mathrm ds \end{align} }[/math]

[math]\displaystyle{ u=\frac{t-s}{x-s} }[/math]라 하면

[math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s) (x-s)^{\alpha+\beta - 1} \left(\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du\right)\mathrm ds }[/math]

이고, 중간 적분을 계산하면

[math]\displaystyle{ \int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du = B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} }[/math]

이다. (베타 함수) 따라서 증명이 완료된다. □

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