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'''분수계 미적분학'''(분수차 미적분학, fractional calculus)은 [[해석학]]의 한 분야로, [[미분|미]][[적분]] 연산자의 [[자연수]], [[정수]]가 아닌 [[복소수]]-계(階) (또는 [[실수]]-계) 연산을 연구한다. | '''분수계 미적분학'''(분수차 미적분학, fractional calculus)은 [[해석학]]의 한 분야로, [[미분|미]][[적분]] 연산자의 [[자연수]], [[정수]]가 아닌 [[복소수]]-계(階) (또는 [[실수]]-계) 연산을 연구한다. 학문 이름이 영 [[김대기|적젏하지]] 않은 듯하다. | ||
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에 대하여 <math>D^{-1}=J, J^{-1}=D, D\circ J = J \circ D = I</math><ref><sup>-1</sup>은 역-연산을 나타내고 I는 항등사상을 나타낸다.</ref>라 하자. 또한 이하 <math>D\circ D=D^2</math>과 같이 나타내자. | 에 대하여 <math>D^{-1}=J, J^{-1}=D, D\circ J = J \circ D = I</math><ref><sup>-1</sup>은 역-연산을 나타내고 I는 항등사상을 나타낸다.</ref>라 하자. 또한 이하 <math>D\circ D=D^2</math>과 같이 나타내자. | ||
간단한 함수 <math>f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C)</math>를 | 간단한 함수 <math>f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C)</math>를 분수계 미분해보자. 먼저 <math>\alpha, n</math>이 자연수일 때를 생각하자. | ||
<div align="center"><math>f=x^\alpha </math><br /><math> Df=\alpha x^{\alpha-1} </math><br /><math> D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} </math><br /><math> \vdots </math><br /><math> D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} </math></div> | <div align="center"><math>f=x^\alpha </math><br /><math> Df=\alpha x^{\alpha-1} </math><br /><math> D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} </math><br /><math> \vdots </math><br /><math> D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} </math></div> | ||
임을 알 수 있다. 하지만 [[계승]](factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 [[감마 함수]](gamma function)이다. <math>n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0)</math><ref>N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.</ref>이므로 정리하면 | 임을 알 수 있다. 하지만 [[계승]](factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 [[감마 함수]](gamma function)이다. <math>n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0)</math><ref>N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.</ref>이므로 정리하면 | ||
<div align="center"><math> D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) </math> </div> | <div align="center"><math> D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) </math> </div> | ||
이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 | 이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다! | ||
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2015년 5월 29일 (금) 23:22 판
분수계 미적분학(분수차 미적분학, fractional calculus)은 해석학의 한 분야로, 미적분 연산자의 자연수, 정수가 아닌 복소수-계(階) (또는 실수-계) 연산을 연구한다. 학문 이름이 영 적젏하지 않은 듯하다.
개요
미분 연산자
[math]\displaystyle{ D_x=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} }[/math]
와 적분 연산자
에 대하여 [math]\displaystyle{ D^{-1}=J, J^{-1}=D, D\circ J = J \circ D = I }[/math][4]라 하자. 또한 이하 [math]\displaystyle{ D\circ D=D^2 }[/math]과 같이 나타내자.
간단한 함수 [math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C) }[/math]를 분수계 미분해보자. 먼저 [math]\displaystyle{ \alpha, n }[/math]이 자연수일 때를 생각하자.
[math]\displaystyle{ f=x^\alpha }[/math]
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]
임을 알 수 있다. 하지만 계승(factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 감마 함수(gamma function)이다. [math]\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb N _0) }[/math][5]이므로 정리하면
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha -n + 1)} x^{\alpha-n}\; (\alpha, n \in \mathbb C) }[/math]
이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다!
각주
- ↑ 이 미분 연산자 표기는 오일러가 처음 쓴 것이다.
- ↑ D와 J는 각각 derivative (또는 differential), integration의 첫 글자이다. 단지 J는 I를 대신하여 쓰였으며, 이는 I가 주로 항등사상 (또는 연산; identity mapping)을 나타내기 때문이다. 이 이하로는 변수를 밝힐 필요가 없는 이상 첨자 x를 생략하기로 한다.
- ↑ 사실 이는 특수한 경우(상수를 무시)에서만 일반적인 미적분과 일치한다. 이는 밑에서 다시 정의하기로 하자.
- ↑ -1은 역-연산을 나타내고 I는 항등사상을 나타낸다.
- ↑ N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.