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로 정의하면 | 로 정의하면 <math>\zeta(s)</math>는 [[수렴]]한다. 이때 <math>\zeta</math>를 '''리만 제타함수(Riemann zeta function)'''라고 한다. | ||
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* <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math> | * <math>\zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}</math> | ||
* | * <math>\operatorname{Re} s > 2</math>일 때 <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>이다. 이때 <math>\phi</math>는 [[오일러 피 함수]]이다. | ||
== 현재까지 알려진 성과 == | == 현재까지 알려진 성과 == | ||
* | * <math>\zeta(3)</math>은 [[아페리 상수]]라고 하며, [[무리수]]이다.<ref>Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.</ref> | ||
* | * <math>\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)</math> 중 적어도 하나는 무리수이다.<ref>W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776</ref> | ||
* | * <math>k</math>가 양의 [[정수]]일 때, <math>\zeta(2k+1)</math> 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.<ref>Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.</ref> | ||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == |
2019년 11월 16일 (토) 20:14 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ s }[/math]가 [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 1 }[/math]인 복소수일 때, 함수 [math]\displaystyle{ \zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]를
- [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} }[/math]
로 정의하면 [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math]는 수렴한다. 이때 [math]\displaystyle{ \zeta }[/math]를 리만 제타함수(Riemann zeta function)라고 한다.
수치[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(6)=\frac{\pi^6}{945} }[/math]
성질[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \zeta(s)=\prod_{p:\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s \gt 2 }[/math]일 때 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\phi(n)}{n^s}=\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} }[/math]이다. 이때 [math]\displaystyle{ \phi }[/math]는 오일러 피 함수이다.
현재까지 알려진 성과[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math]은 아페리 상수라고 하며, 무리수이다.[1]
- [math]\displaystyle{ \zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11) }[/math] 중 적어도 하나는 무리수이다.[2]
- [math]\displaystyle{ k }[/math]가 양의 정수일 때, [math]\displaystyle{ \zeta(2k+1) }[/math] 꼴의 수 중 무리수는 무수히 많다.[3]
같이 보기[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ Apéry, R. (1979). "Irrationalité de ζ(2) et ζ(3)". Astérisque 61: 11–13.
- ↑ W W Zudilin, "One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational", RUSS MATH SURV, 2001, 56 (4), 774–776
- ↑ Rivoal, Tanguy (2000), "La fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique 331 (4): 267–270.