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동형정리

Hwangjy9 (토론 | 기여)님의 2015년 6월 9일 (화) 00:28 판 (→‎제3동형정리)

틀:학술

개요

동형정리(Isomorphism theorem)는 여러 대수적 구조의 동형관계를 밝히는 정리다.

진술

군

제1동형정리

  • 함수 [math]\displaystyle{ f: G\to H }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫군 G/K는 H와 동형이다.

함수 [math]\displaystyle{ \varphi: G/K\to H }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ \varphi(Kg)=f(g) }[/math]

[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. K의 정의에 의해,

[math]\displaystyle{ f(g_1g_2^{-1})=e_H }[/math]

이고 f가 준동형사상이므로

[math]\displaystyle{ f(g_1)f(g_2^{-1})=e_H }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ f(g_2^{-1})=f(g_2)^{-1} }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ f(g_1)=f(g_2) }[/math]

를 얻는다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi(Kg_1)=\varphi(Kg_2) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 잘 정의되어 있다. 이제 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 동형사상임을 보이면 된다. [math]\displaystyle{ G/K }[/math]의 임의의 원소를 [math]\displaystyle{ Kg_1,Kg_2 }[/math]로 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ \begin{align} \varphi(Kg_1)\varphi(Kg_2)&=f(g_1)f(g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=f(g_1g_2)&\quad(\because f\text{ is a homorphism})\\ &=\varphi(Kg_1g_2)&\quad(\because \text{definition of }\varphi)\\ &=\varphi((Kg_1)(Kg_2))&\quad(\because\text{definition of product of cosets}) \end{align} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 준동형사상이다. 이제 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 일대일 대응임을 보이자.

임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \varphi(Kg_1)=\varphi(Kg_2) }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ f(g_1)=f(g_2) }[/math]이다. 그러면 f는 준동형사상이므로 [math]\displaystyle{ f(g_1g_2^{-1})=e_H }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ g_1\equiv g_2\pmod{K} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 일대일 함수임을 안다.

한편, 임의의 [math]\displaystyle{ h\in H }[/math]에 대해 f는 위로의 함수이므로 [math]\displaystyle{ h=f(c) }[/math]인 [math]\displaystyle{ c\in G }[/math]가 존재한다. 그러면 [math]\displaystyle{ f(c)=\varphi(Kc) }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ h=\varphi(Kc) }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 위로의 함수임을 안다.

[math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 위로의 함수이고 일대일 함수이므로, 일대일 대응이다. 앞에서 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]가 준동형사상임을 보였으므로 [math]\displaystyle{ \varphi }[/math]는 동형사상이고, 따라서 [math]\displaystyle{ G/K\cong H }[/math]이다.

제2동형정리

K는 군 G의 부분군이고 N은 G의 정규부분군이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ NK=\{nk\vert n\in N \wedge k\in K\} }[/math]는 G의 부분군이다.
  • N은 NK의 정규부분군이다.

임의의 [math]\displaystyle{ u\in NK }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ u=n_1k_1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ n_1\in N,k_1\in K }[/math]가 존재한다. 그러,면 [math]\displaystyle{ n\in N }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ un=(n_1k_1)n }[/math]이다. N은 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]이다. [math]\displaystyle{ k_1\in G }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ k_1n=n'k_1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ n'\in N }[/math]이 존재한다. [math]\displaystyle{ n_1\in G }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ n_1n'=n''n_1 }[/math]인 [math]\displaystyle{ n''\in N }[/math]이 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ n_1k_1n=n_1(k_1n)=n_1(n'k_1)=(n_1n')k_1=(n''n_1)k_1=n''(n_1k_1)=n''u }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ uN\subseteq Nu }[/math]이다. 한편 [math]\displaystyle{ nu=n(n_1k_1) }[/math]이고 N이 G의 정규부분군이므로 [math]\displaystyle{ nn_1=n_1n^*, n^*k_1=k_1n^{**} }[/math]인 [math]\displaystyle{ n^*,n^{**}\in N }[/math]이 존재하므로 [math]\displaystyle{ nu=un^{**} }[/math]이다. 즉, [math]\displaystyle{ Nu\subseteq uN }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ uN=Nu }[/math]이므로 N은 NK의 정규부분군이다.

  • [math]\displaystyle{ K/(N\cap K)\cong NK/N }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ f:K\to NK/N }[/math]를 다음과 같이 정의하자.

[math]\displaystyle{ f(k)=Nk\text{ for each }k\in K }[/math]

f가 준동형사상임을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ k_1,k_2\in K }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(k_1)f(k_2)&=Nk_1Nk_2\\ &=Nk_1k_2\\ &=f(k_1k_2) \end{align} }[/math]

이므로 f는 준동형사상이다. 이제 f가 위로의 함수임을 보이자. [math]\displaystyle{ NK/N }[/math]의 임의의 원소는 Nnk (단, [math]\displaystyle{ n\in N,k\in K }[/math])으로 나타낼 수 있다. 그런데 [math]\displaystyle{ Nnk=(Nn)(Nk)=N(Nk)=Nk }[/math]이고 [math]\displaystyle{ f(k)=Nk=Nnk }[/math]이므로 f는 위로의 함수이다. 따라서 f는 전사인 준동형사상이다. 이제 f의 핵을 구하자. [math]\displaystyle{ NK/N }[/math]의 항등원은 N이므로, [math]\displaystyle{ f(k)=Nk=N }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ k\in K }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]의 원소다. [math]\displaystyle{ Nk=N }[/math]이면 [math]\displaystyle{ k\in N }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \ker f=K\cap N }[/math]이다. 따라서 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다.

제3동형정리

[math]\displaystyle{ K,N }[/math]이 [math]\displaystyle{ N\subseteq K\subseteq G }[/math]인 군 G의 정규부분군이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ K/N }[/math]는 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 정규부분군이다.

N이 K의 부분군이라는 건 자명하다. N은 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gN=Ng }[/math]이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ k\in K }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ kN=Nk }[/math]이다. 따라서 N은 K의 정규부분군이다. 그러면 [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 군이고 원소들은 Nk의 꼴로 표현할 수 있다. Nk는 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 원소이므로, [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 부분군이다. 한편, K가 G의 정규부분군이므로, 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G, k\in K }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ gk=k_1g,kg=gk_2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ k_1,k_2\in K }[/math]가 존재한다. 따라서

[math]\displaystyle{ (Ng)(Nk)=Ngk=Nk_1 g=(Nk_1)(Ng) }[/math],
[math]\displaystyle{ (Nk)(Ng)=Nkg=Ngk_2=(Ng)(Nk_2) }[/math]

이므로, [math]\displaystyle{ K/N }[/math]은 [math]\displaystyle{ G/N }[/math]의 정규부분군이다.

  • [math]\displaystyle{ (G/N)/(K/N) \cong G/K }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ f:G/N\to G/K }[/math]를 다음과 같이 정의한다.

[math]\displaystyle{ f(Ng)=Kg\text{ for each }Ng\in G/N }[/math]

f가 잘 정의되어 있음을 보이자. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ Ng_1=Ng_2 }[/math]라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in N }[/math]이고, [math]\displaystyle{ N\subseteq K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g_1g_2^{-1}\in K }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ Kg_1=Kg_2 }[/math]이다. 따라서 f는 잘 정의되어 있다.

f가 전사인 준동형사상임을 보이자. [math]\displaystyle{ G/K }[/math]의 임의의 원소를 Kg로 나타낼 수 있는데, 그러면 [math]\displaystyle{ Kg=f(Ng) }[/math]이므로 f는 위로의 함수이다. 임의의 [math]\displaystyle{ g_1,g_2\in G }[/math]에 대해,

[math]\displaystyle{ \begin{align} f(Ng_1)f(Ng_2)&=Kg_1Kg_2&(\because \text{definition of }f)\\ &=Kg_1g_2&(\because \text{definition of product of cosets})\\ &=f(Ng_1g_2)&(\because \text{definition of }f)\\ &=f((Ng_1)(Ng_2))&(\because \text{definition of product of cosets}) \end{align} }[/math]

이므로 f는 준동형사상이다. 이제 [math]\displaystyle{ \ker f }[/math]를 구하자. [math]\displaystyle{ f(Ng)=K }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Kg=K }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ g\in K }[/math]이다. 그러므로 [math]\displaystyle{ ker f=K/N }[/math]이고, 제1동형정리에 의해 원하는 결론을 얻는다.

환

제1동형정리

함수 [math]\displaystyle{ f: R\to S }[/math]가 [math]\displaystyle{ \ker f=K }[/math]인 전사 준동형사상이라고 하자. 그러면 몫환 R/K는 S와 동형이다.

제2동형정리

[math]\displaystyle{ I,J }[/math]를 환 R의 아이디얼이라고 하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ I\cap J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I,J }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ I,J }[/math]는 [math]\displaystyle{ I+J }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ I/I\cap J \cong (I+J)/J }[/math]이다.

제3동형정리

[math]\displaystyle{ I,K }[/math]가 환 R의 아이디얼이고 [math]\displaystyle{ K\subseteq I }[/math]라고 가정하자. 그러면

  • [math]\displaystyle{ I/K }[/math]는 [math]\displaystyle{ R/K }[/math]의 아이디얼이다.
  • [math]\displaystyle{ (R/K)/(I/K)\cong R/I }[/math]이다.