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== 정의 == | == 정의 == | ||
\(X\)를 [[집합 (수학)|집합]]이라 하고 \(d\)를 <math>X\times X</math>로부터 0 이상의 [[실수]]의 집합 <math>\mathbb{R}^+</math>로의 [[함수 (수학)|함수]]라고 하자. 임의의 <math>x,y,z\in X</math>에 대해 다음 조건 | |||
: (1) <math>d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y</math> | : (1) <math>d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y</math> | ||
: (2) <math>d(x,y)=d(y,x)</math> | : (2) <math>d(x,y)=d(y,x)</math> | ||
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참고로 영어 단어 metric과 distance는 모두 "거리"라고 번역되는데, 엄밀하게 따지면 distance는 거리 값을 나타내는 스칼라, metric은 미분기하학적 측면에선 [[텐서]]이다. | 참고로 영어 단어 metric과 distance는 모두 "거리"라고 번역되는데, 엄밀하게 따지면 distance는 거리 값을 나타내는 스칼라, metric은 미분기하학적 측면에선 [[텐서]]이다. | ||
== 예시 == | |||
* <math>\mathbb{R}^n</math>에서 <math>\mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n),\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n)</math>라 하면 | |||
** <math>d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}</math> | |||
** <math>d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|</math> | |||
** <math>d_\infty(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|: i=1,2,\cdots, n\}</math> | |||
== 수열의 극한 == | |||
{{참조|수열의 극한}} | |||
== 연속함수 == | |||
{{참조|연속함수}} | |||
\(f:(X,d)\to (Y,d')\)를 거리공간 \((X,d)\)에서 \((Y,d')\)로의 함수이고, <math>a\in X</math>라고 하자. 이때 임의의 <math>\varepsilon >0</math>에 대해 <math>\delta >0</math>이 존재해 임의의 <math>x\in X</math>에 대해 <math>d(x,a)<\delta</math>이면 <math>d(f(x),f(a))<\varepsilon</math>일 때, \(f\)는 \(a\)에서 연속이라고 한다. | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
2015년 9월 3일 (목) 13:36 판
정의
\(X\)를 집합이라 하고 \(d\)를 [math]\displaystyle{ X\times X }[/math]로부터 0 이상의 실수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^+ }[/math]로의 함수라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z\in X }[/math]에 대해 다음 조건
- (1) [math]\displaystyle{ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
- (2) [math]\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x) }[/math]
- (3) [math]\displaystyle{ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) }[/math]
을 만족하면 [math]\displaystyle{ d:X\times X\to \mathbb{R}^+ }[/math]를 X 위의 거리(metric), 또는 거리함수(distance function)라고 한다. 그리고 [math]\displaystyle{ d(x,y) }[/math]를 x에서 y까지의 거리(distance)라고 한다.뭐여 함수도 거리라며 거리함수 d가 주어진 집합 X는 거리공간(metric space)이라고 하고 [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math]라고 표기한다.
참고로 영어 단어 metric과 distance는 모두 "거리"라고 번역되는데, 엄밀하게 따지면 distance는 거리 값을 나타내는 스칼라, metric은 미분기하학적 측면에선 텐서이다.
예시
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n),\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n) }[/math]라 하면
- [math]\displaystyle{ d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i| }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_\infty(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|: i=1,2,\cdots, n\} }[/math]
수열의 극한
이와 관련한 내용은 수열의 극한에서 볼 수 있습니다.연속함수
이와 관련한 내용은 연속함수에서 볼 수 있습니다.\(f:(X,d)\to (Y,d')\)를 거리공간 \((X,d)\)에서 \((Y,d')\)로의 함수이고, [math]\displaystyle{ a\in X }[/math]라고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d(x,a)\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d(f(x),f(a))\lt \varepsilon }[/math]일 때, \(f\)는 \(a\)에서 연속이라고 한다.