위상공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ A }[/math]의 집적점 전체의 집합을 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 유도집합(derived set) 또는 도집합이라고 하고 [math]\displaystyle{ A' }[/math]으로 표기한다.
[math]\displaystyle{ A\setminus A' }[/math]의 원소를 고립점(isolated point)이라고 한다. [math]\displaystyle{ A\subset A' }[/math]인 닫힌집합을 완전집합(perfect set)이라고 한다.
예시[편집 | 원본 편집]
- 실수 전체의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ A=(0,1) }[/math]에 대해,
| 부여된 위상 | 유도집합 |
|---|---|
| 보통위상 | [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] |
| 여유한위상 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
| 하한위상 | [math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] |
| 이산위상 | [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math] |
| 비이산위상 | [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] |
성질[편집 | 원본 편집]
다음 명제는 동등하다.
- [math]\displaystyle{ A }[/math]는 닫힌집합이다.
- [math]\displaystyle{ A'\subset A }[/math]이다.
거리공간에서 다음 명제는 동등하다.
- [math]\displaystyle{ x\in A' }[/math]
- [math]\displaystyle{ x }[/math]로 수렴하는 [math]\displaystyle{ A }[/math] 위의 서로 다른 점들의 점열이 존재한다.
T1 공간에서 다음 명제는 동등하다.
- [math]\displaystyle{ x\in A' }[/math]
- [math]\displaystyle{ x }[/math]의 임의의 근방은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 원소를 무한 개 포함한다.
T1 공간에서 [math]\displaystyle{ A' }[/math]은 닫힌집합이다.
[math]\displaystyle{ A }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ \overline{A}=A\cup A' }[/math]이다.