집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset, X\} }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 비이산위상(indiscrete topology) 또는 자명위상(trivial topology)이라고 한다.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ X }[/math]를 비이산위상이 부여된 위상공간, [math]\displaystyle{ Y }[/math]를 위상공간이라고 하자.
- [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 내부는 [math]\displaystyle{ \operatorname{int}A=\begin{cases}\emptyset,& A\ne X\\ X,& A=X \end{cases} }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 유도집합은 [math]\displaystyle{ A'=\begin{cases}\emptyset,& |A|\le 1\\X,&|A|\ge 2 \end{cases} }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ A(\subset X) }[/math]의 폐포는 [math]\displaystyle{ \overline{A}=\begin{cases}\emptyset,& A=\emptyset\\ X,&A\ne \emptyset\end{cases} }[/math]이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math] 위의 점열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]은 [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 점으로 수렴한다.
- 임의의 함수 [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math]는 연속함수이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 제2가산집합이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분공간의 부분공간 위상은 비이산위상이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 경로연결공간이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 호연결공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ |X|\ge |\mathbb{R}| }[/math]인 것이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 콤팩트공간이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 T0 공간일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 한원소집합인 것이다.