집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\mathcal{P}(X) }[/math]로 두면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 이산위상(discrete topology)이라고 한다.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ X }[/math]를 이산위상이 부여된 위상공간, [math]\displaystyle{ Y }[/math]를 위상공간이라고 하자.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 모든 부분집합은 열린닫힌집합이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분집합의 유도집합은 공집합이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분집합의 폐포는 자기 자신이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]는 제1가산집합이다.
- [math]\displaystyle{ X }[/math]가 제2가산집합일 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ X }[/math]가 가산집합인 것이다.
- 임의의 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]는 연속함수이다.
- 함수 [math]\displaystyle{ f:Y\to X }[/math]가 연속함수일 필요충분조건은 임의의 [math]\displaystyle{ y\in Y }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ y }[/math]의 근방 [math]\displaystyle{ U }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ U }[/math]에서 상수함수인 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 국소상수함수인 것이다.