근판정법

진술

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

증명

추가바람

따름정리

수열 [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a_n \ge 0 }[/math]이라고 하자. 이때

• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \lt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 수렴한다.
• [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} \gt 1 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_n }[/math]은 발산한다.

예시

다음 급수는 근판정법으로 수렴함을 증명할 수 있다.

• 추가바람

다음 급수는 근판정법으로 발산함을 증명할 수 있다.

• 추가바람

다음 급수의 수렴성은 근판정법으로 판정되지 않는다.

• 추가바람