정의
\(X\)를 집합이라 하고 \(d\)를 [math]\displaystyle{ X\times X }[/math]로부터 0 이상의 실수의 집합 [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^+ }[/math]로의 함수라고 하자. 임의의 [math]\displaystyle{ x,y,z\in X }[/math]에 대해 다음 조건
- (1) [math]\displaystyle{ d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y }[/math]
- (2) [math]\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x) }[/math]
- (3) [math]\displaystyle{ d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z) }[/math]
을 만족하면 [math]\displaystyle{ d:X\times X\to \mathbb{R}^+ }[/math]를 X 위의 거리(metric), 또는 거리함수(distance function)라고 한다. 그리고 [math]\displaystyle{ d(x,y) }[/math]를 x에서 y까지의 거리(distance)라고 한다.뭐여 함수도 거리라며 거리함수 d가 주어진 집합 X는 거리공간(metric space)이라고 하고 [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math]라고 표기한다.
참고로 영어 단어 metric과 distance는 모두 "거리"라고 번역되는데, 엄밀하게 따지면 distance는 거리 값을 나타내는 스칼라, metric은 미분기하학적 측면에선 텐서이다.
예시
- [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}=(x_1,x_2,\cdots, x_n),\mathbf{y}=(y_1,y_2,\cdots,y_n) }[/math]라 하면 \((\mathbb{R}^n,d_2),(\mathbb{R}^n,d_1),(\mathbb{R}^n,d_\infty)\)는 거리공간이다. 이때
- [math]\displaystyle{ d_2(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_1(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sum_{i=1}^n|x_i-y_i| }[/math]
- [math]\displaystyle{ d_\infty(\mathbf{x},\mathbf{y})=\max\{|x_i-y_i|: i=1,2,\cdots, n\} }[/math]
- 임의의 집합 \(X\)의 원소 \(x,y\)에 대해 [math]\displaystyle{ d(x,y)=\begin{cases} 1, &x\ne y\\ 0, &x=y \end{cases} }[/math]로 정의하자. 그러면 [math]\displaystyle{ (X,d) }[/math]는 거리공간이다.
수열의 극한
이와 관련한 내용은 수열의 극한에서 볼 수 있습니다.연속함수
이와 관련한 내용은 연속함수에서 볼 수 있습니다.\(f:(X,d)\to (Y,d')\)를 거리공간 \((X,d)\)에서 \((Y,d')\)로의 함수이고, [math]\displaystyle{ a\in X }[/math]라고 하자. 이때 임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \delta \gt 0 }[/math]이 존재해 임의의 [math]\displaystyle{ x\in X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ d(x,a)\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ d(f(x),f(a))\lt \varepsilon }[/math]일 때, \(f\)는 \(a\)에서 연속이라고 한다.