함수의 극한

역사

극한 항목에도 설명이 되어있지만, 극한이라는 개념은 고대 그리스 시절 부터 존재해 왔다. 특히, 함수의 극한은 뉴턴이 미적분학을 만들면서 본격적으로 발전하기 시작하였다. 그러나 당시에는 엄밀한 수학적 증명보다는 직관에 의존하였다. 이는 물리학에서는 크게 문제가 되진 않았을지 몰라도, 수학에서는 상당한 문제가 되었다. 이를 해결하기 위해선 극한의 수학적인 엄밀한 정의가 필요하게 되었고, 이는 볼자노, 코시, 바이어슈트라우스에 의해 완성되었다.

정의

직관적인 정의

[math]\displaystyle{ x }[/math]에 관한 함수 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 어떤 값 [math]\displaystyle{ c }[/math]에 가까워 지면 함숫값 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]도 어떤 값 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 가까워진다 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]는 [math]\displaystyle{ L }[/math]에 수렴한다고 하며,

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]

로 표기한다. 만약 수렴하지 않으면 발산한다.

고등학교에서 가르치는 직관에 의존하는 정의. 앞서 말했듯이 이 정의는 엄밀하지 않다. 디레클레 함수 같은 경우에는 함숫값이 뭘로 다가가는지 어떻게 아는가?

엄밀한 정의

수열과 비슷하게 [math]\displaystyle{ \varepsilon\text{-}\delta }[/math] 논법을 사용한다.

모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하게하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 존재하면, [math]\displaystyle{ lim_{x\to c}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

위에서 중요한 것은 [math]\displaystyle{ 0\lt \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]인데, [math]\displaystyle{ \left|x-c\right|\lt \delta }[/math]이 아닌 이유는 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서 함숫값이 존재하지 않아도 극한값은 존재할 수 있기 때문이다. 반면, [math]\displaystyle{ 0\lt \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]는 안된다.

한쪽 극한

함수에 따라서는 [math]\displaystyle{ x }[/math]가 왼쪽에서 다가오냐, 오른쪽에서 다가오냐에 따라 극한값이 다를 수도 있다. [math]\displaystyle{ x/ }[/math]가 왼쪽에서 다가올 때의 극한값을 좌극한, 오른쪽에서 다가올 때의 극한값을 우극한이라 부른며, 정의는 다음과 같다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c\lt x\lt c+\delta }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 우극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^+}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.

임의의 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ c-\delta\lt x\lt c }[/math]이면 [math]\displaystyle{ \left|f\left(x\right)-L\right|\lt \varepsilon }[/math]을 만족하는 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]이 존재하면, [math]\displaystyle{ f\left(x\right) }[/math]의 [math]\displaystyle{ x=c }[/math]에서의 좌극한이 존재하며, 기호로는 [math]\displaystyle{ \lim_{x\to c^-}f\left(x\right)=L }[/math]로 표기한다.