분수계 미적분학(분수차 미적분학, fractional calculus)은 미적분학의 한 분야로, 미적분 연산자의 자연수, 정수가 아닌 복소수-계(階) (또는 실수-계) 연산을 연구한다. 학문 이름이 영 적젏하지 않은 듯하다.
개요
미분 연산자
와 적분 연산자
를 정의하고, 이하 [math]\displaystyle{ D\circ D=D^2 }[/math]과 같이 나타내자.
다항함수의 분수계 미분
[math]\displaystyle{ f(x)=x^\alpha \; (\alpha\in\mathbb C) }[/math]를 분수계 미분해보자. 먼저 [math]\displaystyle{ \alpha, n }[/math]이 자연수일 때를 생각하면
[math]\displaystyle{ Df=\alpha x^{\alpha-1} }[/math]
[math]\displaystyle{ D^2f=\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2} }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
[math]\displaystyle{ D^nf=\frac{\alpha !}{(\alpha -n)!} x^{\alpha-n} }[/math]
임을 알 수 있다. 하지만 계승(factorial)은 자연수와 0에서만 정의되므로, 이를 일반화할 필요가 있다. 일반적으로 계승을 일반화하는 함수는 감마 함수(gamma function)이다. [math]\displaystyle{ n!=\Gamma(n+1) \; (n \in \mathbb0 N _0) }[/math][4]이므로 정리하면
이 된다. 여러분은 이제 다항함수의 분수계 미분을 마쳤습니다! 일례로 [math]\displaystyle{ f=x }[/math]의 1/2-계 도함수를 구해보자. 위에서 [math]\displaystyle{ \alpha=1, \; n=1/2 }[/math]를 대입하면
이 된다. 이를 다시 수행하면 1이 될 것이다. 실제로 해 보면
으로 예상이 맞음을 알 수 있다.
함수의 분수계 적분
[math]\displaystyle{ J^2f(x)=\int_0 ^x \left(\int_0 ^t f(t)\;\mathrm dt\right)\mathrm dx }[/math]
[math]\displaystyle{ \vdots }[/math]
파일:분수계적분.png
위와 같은 방법으로 이렇게 진행할 수 있다. 이때 코시의 반복 적분 공식(Cauchy formula for repeated integration)을 쓰면
임을 이끌어낼 수 있다. 여기서 [math]\displaystyle{ n }[/math]을 복소수 범위로 확장하면
이고, 이는 다음을 보면 잘 정의되어 있다(well-defined)는 것을 알 수 있다:
Theorem. [math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= J^\beta J^\alpha f= J^{(\alpha + \beta)}f }[/math]
Proof.
[math]\displaystyle{ u=\frac{t-s}{x-s} }[/math]라 하면[math]\displaystyle{ J^\alpha J^\beta f= \frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{s=0}^{s=x} f(s) (x-s)^{\alpha+\beta - 1} \left(\int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du\right)\mathrm ds }[/math]이고, 중간 적분을 계산하면
[math]\displaystyle{ \int_{u=0} ^{u=1} (1-u)^{\alpha-1}u^{\beta-1}\; \mathrm du = B(\alpha, \beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)} }[/math]이다. (베타 함수) 따라서 증명이 완료된다. □
라플라스 변환
정의: 연산자
적분 연산자
임을 안다. 이를 이용하여 적분 연산자를 다음과 같이 정의하자:
[math]\displaystyle{ a=0 }[/math]일 때에는 생략한다. 이는 [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math]일 때 편리하다.
각주
- ↑ 이 미분 연산자 표기는 오일러가 처음 쓴 것이다.
- ↑ D와 J는 각각 derivative (또는 differential), integration의 첫 글자이다. 단지 J는 I를 대신하여 쓰였으며, 이는 I가 주로 항등사상 (또는 연산; identity mapping)을 나타내기 때문이다. 이 이하로는 변수를 밝힐 필요가 없는 이상 첨자 x를 생략하기로 한다.
- ↑ 사실 이는 특수한 경우(상수를 무시)에서만 일반적인 미적분과 일치한다. 이는 밑에서 다시 정의하기로 하자.
- ↑ N_0는 0을 포함한 자연수 집합이다.
- ↑ 두 번째 식과 세 번째 식의 적분 구간을 유심히 볼 것. t∈[0, x]일 때 s∈[0, t]라 하면 s∈[0, x]이면 s≤t≤x에서 t∈[s, x]이다.