상수함수: 두 판 사이의 차이

2016년 4월 20일 (수) 22:14 판

정의

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 상수함수(constant function)라고 한다.

예시

[math]\displaystyle{ X=\{1,2,3\} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\{a,b,c\} }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 원소를 각각 [math]\displaystyle{ 1 \mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 2\mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 3\mapsto a }[/math]로 대응시키는 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
[math]\displaystyle{ X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\mathbb{R} }[/math]일 때, 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (삼각함수)
함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ f(x)=\int_0^x 0 dx }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=x^p-x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (페르마의 소정리)

성질

상수함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]은 미분가능하고 도함수는 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이다.

Proof 도함수의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ \begin{align}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}\\ &=0\end{align} }[/math] 이므로 원하는 결론을 얻는다.

[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]의 도함수가 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.

Proof 평균값 정리에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in [a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}=f'(c)=0 }[/math] 인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

복소함수 [math]\displaystyle{ f:D\to \mathbb{C} }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다.
유계인 전해석함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]는 상수함수이다. (리우빌의 정리)

같이 보기

상수

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 * <math>X=\{1,2,3\}</math>, <math>Y=\{a,b,c\}</math>일 때, <math>X</math>의 원소를 각각 <math>1 \mapsto a</math>, <math>2\mapsto a</math>, <math>3\mapsto a</math>로 대응시키는 함수 <math>f:X\to Y</math>를 정의하면, <math>f</math>는 상수함수이다.
 * <math>X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R}</math>, <math>Y=\mathbb{R}</math>일 때, 함수 <math>f:X\to Y</math>를 <math>f(x)=|x|</math>로 정의하면, <math>f</math>는 상수함수이다.
-* 함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>를 <math>f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다.
+* 함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>를 <math>f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다. ([[삼각함수]])
 * 함수 <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math>을 <math>f(x)=\int_0^x 0 dx</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다.
+* [[소수]] <math>p</math>에 대해 함수 <math>f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p</math>를 <math>f(x)=x^p-x</math>로 정의하면 <math>f</math>는 상수함수이다. ([[페르마의 소정리]])
 == 성질 ==
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 인 <math>c\in (a,b)</math>가 존재한다. 따라서 <math>f(x_1)=f(x_2)</math>이므로 원하는 결론을 얻는다.
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-* 복소함수 <math>f</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>f'(z)=0</math>이면 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
+* 복소함수 <math>f:D\to \mathbb{C}</math>가 열린 연결집합 <math>D</math>에서 해석적이고 임의의 <math>z\in D</math>에 대해 <math>f'(z)=0</math>이면 <math>f(z)</math>는 상수함수이다.
+* 유계인 전해석함수 <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>는 상수함수이다. ([[리우빌의 정리 (복소해석학)|리우빌의 정리]])
 == 같이 보기 ==
 * [[상수]]