상수함수

정의

함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 원소 [math]\displaystyle{ x_1,x_2 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 상수함수(constant function)라고 한다.

예시

• [math]\displaystyle{ X=\{1,2,3\} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\{a,b,c\} }[/math]일 때, [math]\displaystyle{ X }[/math]의 원소를 각각 [math]\displaystyle{ 1 \mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 2\mapsto a }[/math], [math]\displaystyle{ 3\mapsto a }[/math]로 대응시키는 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
• [math]\displaystyle{ X=\{-1,1\}\subset\mathbb{R} }[/math], [math]\displaystyle{ Y=\mathbb{R} }[/math]일 때, 함수 [math]\displaystyle{ f:X\to Y }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=|x| }[/math]로 정의하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
• 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=\cos^2 x + \sin^2 x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (삼각함수)
• 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]을 [math]\displaystyle{ f(x)=\int_0^x 0 dx }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.
• 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}_p }[/math]를 [math]\displaystyle{ f(x)=x^p-x }[/math]로 정의하면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다. (페르마의 소정리)

성질

실수계에서

• 상수함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} }[/math]은 균등연속이다.
• 상수함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]은 미분가능하고 도함수는 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이다.

Proof 도함수의 정의에 의해, [math]\displaystyle{ \begin{align}f'(x)&=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h\to 0}\frac{0}{h}\\ &=0\end{align} }[/math] 이므로 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 연속이고 [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]에서 미분가능한 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b]\to\mathbb{R} }[/math]의 도함수가 [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]는 상수함수이다.

Proof 평균값 정리에 의해, 임의의 [math]\displaystyle{ x_1,x_2\in [a,b] }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 - x_1}=f'(c)=0 }[/math] 인 [math]\displaystyle{ c\in (a,b) }[/math]가 존재한다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(x_1)=f(x_2) }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

복소공간에서

• 복소함수 [math]\displaystyle{ f:D\to \mathbb{C} }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다.
• 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적인 함수 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 다음 조건 중 하나를 만족할 때 상수함수이다. 많기도 하지...
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} f(z) }[/math]가 상수함수이다.
  • [math]\displaystyle{ \operatorname{Im} f(z) }[/math]가 상수함수이다.
  • [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 상수함수이다.
  • [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]가 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 실수이다.
  • [math]\displaystyle{ \overline{f(z)} }[/math]가 해석적이다.
  • [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 해석적이다.
  • [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math]의 치역은 직선의 일부이다.

Proof [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}f(z) }[/math]가 상수함수라면, [math]\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) }[/math]로 표현할 때 [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0 }[/math]이다. 그러면 코시-리만 방정식에 의해 [math]\displaystyle{ \frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0 }[/math]을 얻으므로 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 상수함수이다. [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 상수함수라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ |f(z)|^2=u^2+v^2 }[/math]도 상수함수이므로 다음 식이 성립한다.   [math]\displaystyle{ \begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial x}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial v}{\partial y}&=0\end{align} }[/math] 이때, 코시-리만 방정식에 의해   [math]\displaystyle{ \begin{align}u\frac{\partial u}{\partial x}-v\frac{\partial u}{\partial y}&=0\\u\frac{\partial u}{\partial y}+v\frac{\partial u}{\partial x}&=0\end{align} }[/math] 이다. 이때 [math]\displaystyle{ u^2+v^2=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ u=v=0 }[/math]이고, [math]\displaystyle{ u^2+v^2\ne 0 }[/math]이면 아까 유도한 [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y} }[/math]에 대한 연립일차방정식의 해는 [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial y}=0 }[/math]으로 유일하다. 그러면 [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} f(z) }[/math]가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다. [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]가 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 실수라면, [math]\displaystyle{ v=0 }[/math]이고 따라서 [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f(z) }[/math]가 상수함수이므로 원하는 결론을 얻는다. [math]\displaystyle{ \overline{f(z)} }[/math]가 해석적이면 코시-리만 방정식에 의해   [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial (-v)}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial y} }[/math] 이고   [math]\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial (-v)}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial v}{\partial x} }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ f'(z)=0 }[/math]이고, 따라서 원하는 결론을 얻는다. [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 해석적이면, [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]는 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 실수이므로 [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]는 상수함수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]도 상수함수이다. [math]\displaystyle{ w=f(z) }[/math]의 치역이 직선의 일부라면 임의의 [math]\displaystyle{ z\in D }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ au(z)+bv(z)=c }[/math]인 상수 [math]\displaystyle{ a,b,c\in \mathbb{C} }[/math]가 존재하며, [math]\displaystyle{ a,b }[/math] 중 하나는 영이 아니어야 한다. 그러면   [math]\displaystyle{ \begin{align}\operatorname{Im}(f(z)(b+ia))&=\operatorname{Im}((u+iv)(b+ia))\\&=\operatorname{Im}(-au+bv+i(au+bv))\\&=au+bv=c\end{align} }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f(z) }[/math]는 상수함수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다.

• 유계인 전해석함수 [math]\displaystyle{ f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} }[/math]는 상수함수이다. (리우빌의 정리)
• 복소함수 [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]가 열린 연결집합 [math]\displaystyle{ D }[/math]에서 해석적이고 [math]\displaystyle{ |f(z)| }[/math]가 [math]\displaystyle{ z=z_0\in D }[/math]에서 최댓값을 가지면, [math]\displaystyle{ f(z) }[/math]는 상수함수이다. (최대절댓값정리)

같이 보기

• 상수