군 준동형사상: 두 판 사이의 차이

2021년 6월 18일 (금) 03:50 기준 최신판

정의[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ G,H }[/math]를 각각 연산 [math]\displaystyle{ \cdot, * }[/math]이 부여된 군이라고 하자. 이때 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ f(a\cdot b)=f(a)*f(b) }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 군 준동형사상(homomorphism of group, group homomorphism)이라고 한다. 군 준동형사상이라는 게 명확하면 그냥 준동형사상이라고 부른다.

성질[편집 | 원본 편집]

[math]\displaystyle{ f(e_G)=e_H }[/math]. 이때 [math]\displaystyle{ e_G, e_H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G,H }[/math]의 항등원이다.

준동형사상의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G) }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 항등원이므로

[math]\displaystyle{ f(e_G)=f(e_G)f(e_G) }[/math]

이다. 군의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ f(e_G)^{-1} }[/math]이 존재한다. 양변에 [math]\displaystyle{ f(e_G)^{-1} }[/math]를 더하면

[math]\displaystyle{ e_H=f(e_G) }[/math]

를 얻는다.

임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(g^{-1})=f(g)^{-1} }[/math]이다.

임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ e_H=f(e_G)=f(gg^{-1})=f(g)f(g^{-1}) }[/math]

이다. 양변의 왼쪽에 [math]\displaystyle{ f(g)^{-1} }[/math]를 더하면

[math]\displaystyle{ f(g)^{-1}=f(g^{-1}) }[/math]

를 얻는다.

[math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f }[/math]는 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 부분군이다. 이때 [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f }[/math]는 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 상이다.

임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]에 대해 준동형사상의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ f(a)f(b)=f(ab)\in H }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ f(g)^{-1}=f(g^{-1})\in H }[/math]

이다. 따라서 부분군 판정법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

[math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일함수이면 [math]\displaystyle{ G\cong \operatorname{Im}f }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ g:G\to \operatorname{Im}f }[/math]를

[math]\displaystyle{ g(a)=f(a)\text{ for each }a\in G }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 위로의 함수인데, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일함수라면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 일대일함수이면서 동시에 위로의 함수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 일대일대응이 되고, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 일대일대응인 준동형사상이 되어 동형사상이 되므로 원하는 결론을 얻는다.

종류[편집 | 원본 편집]

동형사상: 일대일대응인 준동형사상이다.
자기동형사상: 정의역과 공역이 같은 동형사상이다.
~~위상동형사상~~: 이 용어의 영어 철자는 homeomorphism이다. 원서로 공부한다면 헷갈리지 말자.

같이 보기[편집 | 원본 편집]

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-{{학술}}
-{{다른 뜻|준동형사상||일반적인 의미}}
 == 정의 ==
-<math>G,H</math>를 각각 [[연산]] <math>\cdot, *</math>이 부여된 [[군 (수학)|군]]이라고 하자. 이때 [[함수 (수학)|함수]] <math>f:G\to H</math>가 임의의 <math>a,b\in G</math>에 대해
+<math>G,H</math>를 각각 [[연산]] <math>\cdot, *</math>이 부여된 [[군 (수학)|군]]이라고 하자. 이때 [[함수]] <math>f:G\to H</math>가 임의의 <math>a,b\in G</math>에 대해
 : <math>f(a\cdot b)=f(a)*f(b)</math>
-이면 \(f\)를 '''군 준동형사상(homomorphism of group, group homomorphism)'''이라고 한다. 군 준동형사상이라는 게 명확하면 그냥 준동형사상이라고 부른다.
+이면 <math>f</math>를 '''군 준동형사상(homomorphism of group, group homomorphism)'''이라고 한다. 군 준동형사상이라는 게 명확하면 그냥 준동형사상이라고 부른다.
 == 예시 ==
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 == 성질 ==
-* <math>f(e_G)=e_H</math>. 이때 \( e_G, e_H\)는 \(G,H\)의 [[항등원]]이다.
+* <math>f(e_G)=e_H</math>. 이때 <math> e_G, e_H</math>는 <math>G,H</math>의 [[항등원]]이다.
 준동형사상의 정의에 의해
 : <math>f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G)</math>
-이다. 이때 \(e_G\)는 \(G\)의 항등원이므로
+이다. 이때 <math>e_G</math>는 <math>G</math>의 항등원이므로
 : <math>f(e_G)=f(e_G)f(e_G)</math>
-이다. 군의 정의에 의해 \(f(e_G)^{-1}\)이 존재한다. 양변에 \(f(e_G)^{-1}\)를 더하면
+이다. 군의 정의에 의해 <math>f(e_G)^{-1}</math>이 존재한다. 양변에 <math>f(e_G)^{-1}</math>를 더하면
 : <math>e_H=f(e_G)</math>
 를 얻는다.
-* 임의의 \(g\in G\)에 대해 \( f(g^{-1})=f(g)^{-1}\)이다.
+* 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math> f(g^{-1})=f(g)^{-1}</math>이다.
 임의의 <math>g\in G</math>에 대해
 : <math>e_H=f(e_G)=f(gg^{-1})=f(g)f(g^{-1})</math>
-이다. 양변의 왼쪽에 \(f(g)^{-1}\)를 더하면
+이다. 양변의 왼쪽에 <math>f(g)^{-1}</math>를 더하면
 : <math>f(g)^{-1}=f(g^{-1})</math>
 를 얻는다.
-* \(\operatorname{Im}f\)는 \(H\)의 [[부분군]]이다. 이때 \(\operatorname{Im}f\)는 \(f\)의 [[상 (수학)|상]]이다.
+* <math>\operatorname{Im}f</math>는 <math>H</math>의 [[부분군]]이다. 이때 <math>\operatorname{Im}f</math>는 <math>f</math>의 [[상 (수학)|상]]이다.
 임의의 <math>a,b\in G</math>에 대해 준동형사상의 정의에 의해
 : <math>f(a)f(b)=f(ab)\in H</math>
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 : <math>f(g)^{-1}=f(g^{-1})\in H</math>
 이다. 따라서 [[부분군 판정법]]에 의해 원하는 결론을 얻는다.
-* \(f\)가 [[일대일함수]]이면 \(G\cong \operatorname{Im}f\)이다.
+* <math>f</math>가 [[일대일함수]]이면 <math>G\cong \operatorname{Im}f</math>이다.
 함수 <math>g:G\to \operatorname{Im}f</math>를
 : <math>g(a)=f(a)\text{ for each }a\in G</math>
-로 정의하면 \(g\)는 [[위로의 함수]]인데, \(f\)가 일대일함수라면 \(g\)는 일대일함수이면서 동시에 위로의 함수이다. 따라서 \(g\)가 일대일대응이 되고, \(g\)는 일대일대응인 준동형사상이 되어 동형사상이 되므로 원하는 결론을 얻는다.
+로 정의하면 <math>g</math>는 [[위로의 함수]]인데, <math>f</math>가 일대일함수라면 <math>g</math>는 일대일함수이면서 동시에 위로의 함수이다. 따라서 <math>g</math>가 일대일대응이 되고, <math>g</math>는 일대일대응인 준동형사상이 되어 동형사상이 되므로 원하는 결론을 얻는다.
 == 종류 ==