지시함수

정의

집합 [math]\displaystyle{ A,X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math]이라고 하자. 함수 [math]\displaystyle{ I_A: X\to \{0,1\} }[/math]이

[math]\displaystyle{ I_A(x)=\begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \end{cases} }[/math]

로 정의될 때, [math]\displaystyle{ I_A }[/math]를 지시함수(indicator function)라고 한다. [math]\displaystyle{ I_A, \chi_A, \mathbf{1}_A }[/math] 등으로 다양하게 표기된다.

성질

집합 [math]\displaystyle{ A,B\subseteq X }[/math]에 대해,

• [math]\displaystyle{ I_{A\cap B}(x)= I_A(x) I_B(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ x\in A\cap B }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I_{A\cap B}(x)=I_A(x)=I_B(x)=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I_{A\cap B}=1=1\cdot 1 = I_A(x) \cdot I_B(x) }[/math]이다. 반대로 [math]\displaystyle{ x\not \in A\cap B }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x\not\in A }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x\not\in B }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I_A(x)=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ I_B(x)=0 }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ I_A(x)I_B(x)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I_{A\cap B}(x)=0=I_A(x) I_B(x) }[/math]이다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ I_{A\cup B}(x)=I_A(x)+I_B(x)-I_{A\cap B}(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ x\in A\cup B }[/math]이면 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]이다. 만약 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]이면 [math]\displaystyle{ I_A(x)=I_B(x)=I_{A\cap B}(x)=1 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ I_{A\cup B}(x)=1=1+1-1=I_A (x) + I_B (x) - I_{A\cap B}(x) }[/math]

이다. 만약 [math]\displaystyle{ x\in A }[/math]이지만 [math]\displaystyle{ x\not\in B }[/math]이면 [math]\displaystyle{ I_A(x)=1, I_B(x)=I_{A\cap B}(x)=0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ I_{A\cup B}(x)=1=1+0-0=I_A(x)+I_B(x)-I_{A\cap B}(x) }[/math]

이며, [math]\displaystyle{ x\not\in A }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]일 때도 같은 결과를 얻는다. 이제 [math]\displaystyle{ x\not\in A\cup B }[/math]라고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ x\not\in A }[/math]이고 [math]\displaystyle{ x\not\in B }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I_A(x)=I_B(x)=I_{A\cap B}(x)=0 }[/math]이다. 그러므로

[math]\displaystyle{ I_{A\cup B}(x)=0=0+0-0=I_A(x)+I_B(x)-I_{A\cap B}(x) }[/math]

이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

• [math]\displaystyle{ I_{X\setminus A}(x)=1-I_A(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ I_X(x)=1 }[/math]이고 [math]\displaystyle{ X=A\cup (X\setminus A) }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} 1&=I_X(x)\\ &=I_{A\cup (X\setminus A)}(x)\\ &=I_A(x)+I_{X\setminus A}(x)-I_{A\cap (X\setminus A)}(x)\\ &=I_A(x)+I_{X\setminus A}(x) \end{align} }[/math]

이다. 따라서 원하는 결과를 얻는다.

지시확률변수

표본공간 [math]\displaystyle{ S }[/math]의 사건 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 주어졌을 때 확률변수 [math]\displaystyle{ I_A }[/math]를

[math]\displaystyle{ I_A(x)=\begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\not\in A \end{cases} }[/math]

로 정의할 수 있다. 이 확률변수는 지시함수이고, 지시확률변수(indicator ramdom variable)라고 한다. 지시확률변수의 평균과 분산은

[math]\displaystyle{ E(I_A)=P(A) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Var}(I_A)=P(A)(1-P(A)) }[/math]

이다. 왜냐 하면

[math]\displaystyle{ \begin{align} E(I_A)&=1\cdot P(A)+0\cdot P(S\setminus A)\\ &=P(A) \end{align} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \begin{align} \operatorname{Var}(I_A)&=E(I_A^2)-E(I_A)^2\\ &=E(I_A)-E(I_A)^2\\ &=E(I_A)(1-E(I_A))\\ &=P(A)(1-P(A)) \end{align} }[/math]

이기 때문이다.