에르미트 행렬

정의

정사각행렬 [math]\displaystyle{ A\in M_n(\mathbb{C}) }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ A^\dagger=A }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 에르미트 행렬(Hermitian matrix), 또는 자기수반행렬(self-adjoint matrix)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ A^\dagger }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 켤레전치이다.

즉, 에르미트 행렬은 실수 성분 대칭행렬의 복소수 버전이라고 볼 수 있다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1-2i\\ 1+2i & 2 \end{bmatrix} }[/math]

성질

• 에르미트 행렬의 대각선 성분은 항상 실수이다.
• 에르미트 행렬의 고윳값은 실수이다.

Proof 에르미트 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]라 하고, [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]에 연관된 고유벡터 하나를 골라 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \begin{align} \lambda \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} &= \mathbf{x}^\dagger (\lambda \mathbf{x})\\ &=\mathbf{x}^\dagger (A\mathbf{x})\\ &=(\mathbf{x}^\dagger A)\mathbf{x}\\ &=(A^\dagger \mathbf{x})^\dagger \mathbf{x}\\ &=(A \mathbf{x})^\dagger \mathbf{x}\\ &=(\lambda \mathbf{x})^\dagger \mathbf{x}\\ &=\overline{\lambda}\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x} \end{align} }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ (\lambda - \overline\lambda)\mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]을 얻는다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}\ne \mathbf{0} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{x}^\dagger \mathbf{x}\ne 0 }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \lambda-\overline{\lambda}=0 }[/math]이므로 원하는 결론을 얻는다.

• 에르미트 행렬의 서로 다른 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2 }[/math]라고 하고 [math]\displaystyle{ \mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{C}^n }[/math]가 각각 [math]\displaystyle{ \lambda_1 }[/math]과 [math]\displaystyle{ \lambda_2 }[/math]에 연관된 고유벡터라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \mathbf{y} }[/math]는 직교한다.
• 모든 에르미트 행렬은 대각화할 수 있다.
• 모든 에르미트 행렬은 정규행렬이다.