대각화

정의

정사각행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대해 역행렬이 존재하는 행렬 [math]\displaystyle{ P }[/math]와 대각행렬 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 존재해

[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 대각화 가능(diagonalizable)하다고 하고, [math]\displaystyle{ P }[/math]가 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 대각화한다고 한다.

대각화 가능 조건

[math]\displaystyle{ n }[/math]차 정사각행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math]가 대각화 가능할 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 선형독립인 고유벡터가 [math]\displaystyle{ n }[/math]개 존재하는 것이다.

Proof [math]\displaystyle{ A }[/math]가 대각화 가능하다고 가정하자. 그러면 [math]\displaystyle{ P^{-1}AP=D }[/math]인 가역행렬 [math]\displaystyle{ P }[/math]와 대각행렬 [math]\displaystyle{ D }[/math]가 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ P=[p_{ij}], D=[ \delta_{ij}\lambda_i] }[/math] 으로 두면 (단, [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math]는 크로네커 델타이다.) [math]\displaystyle{ AP=PD=\left[\sum_{k=1}^n \delta_{kj}p_{ik}\lambda_{k} \right]=[\lambda_jp_{ij}] }[/math] [math]\displaystyle{ P }[/math]의 열벡터를 [math]\displaystyle{ \mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\cdots,\mathbf{p}_n }[/math]이라 하면 [math]\displaystyle{ A\mathbf{p}_1=\lambda_1 \mathbf{p}_1,A\mathbf{p}_2=\lambda_2 \mathbf{p}_2,\cdots,A\mathbf{p}_n=\lambda_n \mathbf{p}_n }[/math] 이고 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 가역행렬이므로 [math]\displaystyle{ \mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\cdots,\mathbf{p}_n }[/math]은 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 선형독립인 고유벡터이다. [math]\displaystyle{ A }[/math]의 선형독립인 고유벡터 [math]\displaystyle{ n }[/math]개가 존재한다고 가정하자. [math]\displaystyle{ A }[/math]의 선형독립인 고유벡터를 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_n }[/math]이라고 하고, 대응되는 고윳값을 [math]\displaystyle{ \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n }[/math]이라고 하자. 행렬 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 [math]\displaystyle{ P=\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots& \mathbf{v}_n\end{bmatrix} }[/math] 으로 정의하면, [math]\displaystyle{ \begin{align} AP&=A\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1&\mathbf{v}_2&\cdots& \mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}A\mathbf{v}_1&A\mathbf{v}_2&\cdots& A\mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix}\lambda_1\mathbf{v}_1&\lambda_2\mathbf{v}_2&\cdots& \lambda_n\mathbf{v}_n\end{bmatrix}\\ &=PD \end{align} }[/math] 이므로 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 대각화 가능하다. 이때, [math]\displaystyle{ D=[ \delta_{ij}\lambda_i] }[/math]이다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} }[/math]은 대각화 가능하며, [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}1+\sqrt{2}& 1-\sqrt{2}\\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1+\sqrt{2}& 1-\sqrt{2}\\ 1 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+\sqrt{2} & 0\\ 0 & 1-\sqrt{2}\end{bmatrix} }[/math]이다.
• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix} }[/math]은 대각화 불가능하다. 왜냐 하면 [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix}3 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix} }[/math]의 고유벡터는 [math]\displaystyle{ c\begin{bmatrix}1 \\ -1\end{bmatrix} }[/math]뿐으로, 선형독립인 고유벡터 2개를 선택할 수 없기 때문이다.