정의[편집 | 원본 편집]
체 F와 [math]\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_m \in F }[/math]에 대해, [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix) V는 다음 꼴로 나타나는 행렬이다.
- [math]\displaystyle{ V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \cdots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix}=\left( \alpha_i^{j-1} \right)_{m \times n} }[/math]
위 행렬의 전치행렬을 방데르몽드 행렬로 정의하는 책도 있다.
알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre‐Théophile Vandermonde)를 따라 이름이 붙었다.
성질[편집 | 원본 편집]
방데르몽드 행렬 V가 n차 정사각행렬인 경우 아래의 성질을 갖는다.
- V의 행렬식을 방데르몽드 행렬식이라 하며, 이는
- [math]\displaystyle{ \det V=\prod_{1\le i \lt j \le n} (\alpha_j - \alpha_i) }[/math]
- 의 값을 가진다(i와 j의 첨자 순서에 유의할 것). 따라서 V가 가역일 필요충분조건은 임의의 서로 다른 [math]\displaystyle{ i,j\in \{1,2,\cdots,n\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \alpha_i \ne \alpha_j }[/math]인 것이다.
- V가 가역일 때, V의 역행렬을 [math]\displaystyle{ V^{-1}=[\beta_{ij}] }[/math]라 하면, 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \beta_{ij}=(-1)^{i-1}\frac {S_{n-i}(\alpha_1, \cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\prod_{k\ne j}(\alpha_k-\alpha_j)} }[/math]
- 이때, [math]\displaystyle{ S_{n-i} }[/math]는 기본대칭함수이다.
- 증명. V와 그 역행렬의 곱이 항등행렬이므로, 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \alpha_i^{k-1} \beta_{kj}=\delta_{ij} }[/math]
- 이때, [math]\displaystyle{ \delta_{ij} }[/math]는 크로네커 델타이다. 다항식 [math]\displaystyle{ P_j(x) }[/math]를
- [math]\displaystyle{ P_j(x)=\sum_{k=1}^n \beta_{kj}x^{k-1} }[/math]
- 로 정의하면 [math]\displaystyle{ \displaystyle P_j(\alpha_i)=\sum_{k=1}\beta_{kj}\alpha_i^{k-1}=\delta_{ij} }[/math]이다. 라그랑주 보간법에 의해,
- [math]\displaystyle{ \begin{align}P_j(x)&=\sum_{i=1}^n \delta_{ij}L_i(x)\\&=L_j(x)\\&=\prod_{1\le k \le n\atop k\ne j}\frac{x-\alpha_k}{\alpha_j-\alpha_k}\end{align} }[/math]
- 이다. 이때 [math]\displaystyle{ L_j(x) }[/math]는 라그랑주 기저 다항식이다. 계수비교를 통해
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\beta_{kj}&=\frac{\displaystyle\sum_{1\le i_1 \lt \cdots \lt i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}(-\alpha_{i_j})}{\displaystyle\prod_{1\le m \le n \atop k\ne j}(\alpha_j-\alpha_m)}\\ &=\frac{\displaystyle (-1)^{n-k}\sum_{1\le i_1 \lt \cdots \lt i_{n-k} \le n}\prod_{j=1}^{n-k}\alpha_{i_j}}{\displaystyle (-1)^{n-1}\prod_{1\le m \le n \atop m\ne j}(\alpha_m-\alpha_j)} \\&= \frac{\displaystyle (-1)^{k-1}S_{n-k}(\alpha_1,\cdots,\alpha_{j-1},\alpha_{j+1},\cdots,\alpha_n)}{\displaystyle \prod_{1\le m \le n\atop k\ne j}(\alpha_m-\alpha_j)} \end{align} }[/math]
- 임을 안다. k를 i로 바꾸면 원하는 결과를 얻는다.
외부 링크[편집 | 원본 편집]
참고문헌[편집 | 원본 편집]
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013), Matrix Analysis (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54823-6