방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant) 또는 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)은 정사각 방데르몽드 행렬의 행렬식이다.
알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre‐Théophile Vandermonde)를 따라 이름이 붙었다.
계산[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ n\times n }[/math] 방데르몽드 행렬
- [math]\displaystyle{ V_n=\begin{bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{bmatrix}=\left( \alpha_i^{j-1} \right)_{n \times n} }[/math]
에 대해
- [math]\displaystyle{ \det(V_n)=\prod_{1\le i \lt j \le n}(\alpha_j-\alpha_i) }[/math]
이다. (i와 j의 첨자 순서에 유의할 것!)
증명[편집 | 원본 편집]
수학적 귀납법을 사용한다.
(i) 우선 n=2이면 자명하다.
(ii) 이제 n≥3이라고 가정하자.
Vn의 행렬식
- [math]\displaystyle{ \det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{vmatrix} }[/math]
의 [math]\displaystyle{ 2,3,\dots,n }[/math]행에서 1행을 빼는 기본행연산(elementary row operation)을 수행하면,
- [math]\displaystyle{ \det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 -\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1}-\alpha_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n^2-\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}-\alpha_1^{n-1}\end{vmatrix} }[/math]
을 얻는다. [math]\displaystyle{ j\in\{1,2,\dots,n-1\} }[/math]에 대해, (j+1)열에서 j열의 [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math]배를 빼는 기본열연산(elementary column operation)을 내림차순으로 수행하면,
- [math]\displaystyle{ \begin{align}\det(V_n)&=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \cdots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1) \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \cdots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\end{vmatrix}\\ &=\left( \prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \right) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-2} \\ 1 & \alpha_3 & \cdots &\alpha_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{align} }[/math]
이제 귀납가정에 의해
- [math]\displaystyle{ \det(V_n)=\left( \prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \right) \prod_{2\le i \lt j \le n}(\alpha_j-\alpha_i)=\prod_{1\le i \lt j \le n}(\alpha_j-\alpha_i) }[/math]
가 되어 원하는 결과를 얻을 수 있다.
(iii) (i)과 (ii)에서 수학적 귀납법에 의해 모든 n≥2에 대해 원하는 결론을 얻는다.