전치행렬

정의

환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소를 성분으로 가지는 [math]\displaystyle{ m\times n }[/math] 행렬 [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} }[/math]가 주어졌을 때, [math]\displaystyle{ A }[/math]의 행과 열을 바꾼 [math]\displaystyle{ n\times m }[/math] 행렬

[math]\displaystyle{ A^T=\begin{bmatrix} a_{ji} \end{bmatrix} }[/math]

를 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 전치행렬(transpose of a matrix)이라고 한다.

전치행렬도 행렬이므로 대응되는 선형사상이 존재하는데, 전치행렬에 대응되는 선형사상은 원래 선형사상의 쌍대사상 (dual map)이다. 즉, [math]\displaystyle{ A }[/math]에 대응되는 선형사상을 [math]\displaystyle{ L }[/math]이라 했을 때 [math]\displaystyle{ A^T }[/math]에 대응되는 선형사상은 [math]\displaystyle{ L^*(g) = g \circ L }[/math]로 정의된 사상 [math]\displaystyle{ L^* }[/math]이다.

예시

• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}^T =\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} }[/math]
• [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}^T=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 7\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} }[/math]

성질

가환환 [math]\displaystyle{ R }[/math]의 원소를 성분으로 가지는 [math]\displaystyle{ m\times n }[/math] 행렬 [math]\displaystyle{ A }[/math], [math]\displaystyle{ n\times p }[/math] 행렬 [math]\displaystyle{ B }[/math]와 상수 [math]\displaystyle{ c\in R }[/math]에 대해,

• [math]\displaystyle{ (A^T)^T=A }[/math]
• [math]\displaystyle{ (A+B)^T=A^T +B^T }[/math]
• [math]\displaystyle{ (cA)^T=cA^T }[/math]
• [math]\displaystyle{ (AB)^T=B^TA^T }[/math]

가 성립한다.

특수한 행렬

• [math]\displaystyle{ A^T=A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 대칭행렬(symmetric matrix)이라고 한다.
• [math]\displaystyle{ A^T=-A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 비대칭행렬(skew-symmetric matrix)이라고 한다.
• [math]\displaystyle{ A^T=A^{-1} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다.
• [math]\displaystyle{ A^\dagger=A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 에르미트행렬(Hermitian matrix)이라고 한다. 이때 [math]\displaystyle{ A^\dagger = \overline{A^T} }[/math]는 [math]\displaystyle{ A }[/math]의 켤레전치이다.
• [math]\displaystyle{ A^\dagger=-A }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 반에르미트행렬(skew-Hermitian matrix)이라고 한다.
• [math]\displaystyle{ A^\dagger=A^{-1} }[/math]이면 [math]\displaystyle{ A }[/math]를 유니타리행렬(unitary matrix)이라고 한다.