군 준동형사상

정의

[math]\displaystyle{ G,H }[/math]를 각각 연산 [math]\displaystyle{ \cdot, * }[/math]이 부여된 군이라고 하자. 이때 함수 [math]\displaystyle{ f:G\to H }[/math]가 임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ f(a\cdot b)=f(a)*f(b) }[/math]

이면 [math]\displaystyle{ f }[/math]를 군 준동형사상(homomorphism of group, group homomorphism)이라고 한다. 군 준동형사상이라는 게 명확하면 그냥 준동형사상이라고 부른다.

성질

• [math]\displaystyle{ f(e_G)=e_H }[/math]. 이때 [math]\displaystyle{ e_G, e_H }[/math]는 [math]\displaystyle{ G,H }[/math]의 항등원이다.

준동형사상의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ f(e_Ge_G)=f(e_G)f(e_G) }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ e_G }[/math]는 [math]\displaystyle{ G }[/math]의 항등원이므로

[math]\displaystyle{ f(e_G)=f(e_G)f(e_G) }[/math]

이다. 군의 정의에 의해 [math]\displaystyle{ f(e_G)^{-1} }[/math]이 존재한다. 양변에 [math]\displaystyle{ f(e_G)^{-1} }[/math]를 더하면

[math]\displaystyle{ e_H=f(e_G) }[/math]

를 얻는다.

• 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ f(g^{-1})=f(g)^{-1} }[/math]이다.

임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ e_H=f(e_G)=f(gg^{-1})=f(g)f(g^{-1}) }[/math]

이다. 양변의 왼쪽에 [math]\displaystyle{ f(g)^{-1} }[/math]를 더하면

[math]\displaystyle{ f(g)^{-1}=f(g^{-1}) }[/math]

를 얻는다.

• [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f }[/math]는 [math]\displaystyle{ H }[/math]의 부분군이다. 이때 [math]\displaystyle{ \operatorname{Im}f }[/math]는 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 상이다.

임의의 [math]\displaystyle{ a,b\in G }[/math]에 대해 준동형사상의 정의에 의해

[math]\displaystyle{ f(a)f(b)=f(ab)\in H }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ f(g)^{-1}=f(g^{-1})\in H }[/math]

이다. 따라서 부분군 판정법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

• [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일함수이면 [math]\displaystyle{ G\cong \operatorname{Im}f }[/math]이다.

함수 [math]\displaystyle{ g:G\to \operatorname{Im}f }[/math]를

[math]\displaystyle{ g(a)=f(a)\text{ for each }a\in G }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 위로의 함수인데, [math]\displaystyle{ f }[/math]가 일대일함수라면 [math]\displaystyle{ g }[/math]는 일대일함수이면서 동시에 위로의 함수이다. 따라서 [math]\displaystyle{ g }[/math]가 일대일대응이 되고, [math]\displaystyle{ g }[/math]는 일대일대응인 준동형사상이 되어 동형사상이 되므로 원하는 결론을 얻는다.

종류

• 동형사상: 일대일대응인 준동형사상이다.
• 자기동형사상: 정의역과 공역이 같은 동형사상이다.
• 위상동형사상: 이 용어의 영어 철자는 homeomorphism이다. 원서로 공부한다면 헷갈리지 말자.

같이 보기

• 환 준동형사상
• 모노이드 준동형사상