Concyclic Points
개요[편집 | 원본 편집]
평면 위에 존재하는 몇 개의 점을 동시에 지나는 한 원을 그릴 수 있다면 그 점들을 공원점이라고 부른다. 공선점과 함께 수학 경시대회 기하학 파트의 핵심이며, 어떤 점들이 공원점임을 증명한 순간 원에 관한 수많은 성질들을 사용할 수 있게 해준다. 보통 공원점이라고 하면 4개 이상의 점들을 의미하는데, 점이 하나나 두 개이면 그 점을 지나는 원이 무수히 많고, 점이 세 개이면 외접원이 반드시 존재하기 때문 (외심 참조). 반면 점이 네 개일 때 부터는 외접원의 존재성이 보장되지 않는다.
사각형[편집 | 원본 편집]
이 문단에선 점 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]가 (즉, (사각형) 공원점일 조건을 다룬다.
- 한 쌍의 대각의 크기의 합이 [math]\displaystyle{ 180^\circ }[/math]이다.
- 한 외각의 크기가 그 내대각의 크기와 같다.
- 원주각이 성립한다. 즉, 한 변에서 나머지 두 점을 이은 각의 크기가 같다.
- 두 대각선의 교점을 [math]\displaystyle{ P }[/math]라 했을 때, [math]\displaystyle{ \overline{PA}\cdot\overline{PC}=\overline{PB}\cdot\overline{PD} }[/math]이다.
- 두 대변 [math]\displaystyle{ \overline{AD},\overline{BC} }[/math](혹은 [math]\displaystyle{ \overline{AB},\overline{CD} }[/math])의 연장선의 교점을 [math]\displaystyle{ P }[/math]라 하였을 때, [math]\displaystyle{ \gt \overline{PA}\cdot\overline{PD}=\overline{PB}\cdot\overline{PC} }[/math](혹은 [math]\displaystyle{ \overline{PA}\cdot\overline{PB}=\overline{PC}\cdot\overline{PD} }[/math])이다.
- 두 쌍의 대변의 곱의 합이 두 대각선의 곱과 같다. 즉, [math]\displaystyle{ \overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{AD}\cdot\overline{BC}=\overline{AC}\cdot\overline{BD} }[/math].
- 네 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이 존재한다.
- 네 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다.
증명[편집 | 원본 편집]
1. [math]\displaystyle{ \angle{B}+\angle{D}=180^\circ }[/math]라 가정하자. 먼저 점 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]를 지나는 원을 그리고, [math]\displaystyle{ \angle{B}+\angle{D'}=180^\circ }[/math]이 되게 [math]\displaystyle{ D' }[/math]를 원 위에 잡는다. 꼭짓점 [math]\displaystyle{ A,D' }[/math]에 대한 중심각의 합이 [math]\displaystyle{ 360^\circ }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \angle{A}+\angle{D'}=180^\circ }[/math]이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \angle{D}=\angle{D'} }[/math]. 원주각이 성립하므로 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]는 공원점이다.
2. 1번 방법의 따름정리. 증명은 생략한다.
3. [math]\displaystyle{ \angle{ACB}=\angle{ADB} }[/math]라 하자. 그리고 두 대각선의 교점을 [math]\displaystyle{ P }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ \angle{BPC}=\angle{APD} }[/math]이다 (맞꼭지각). 따라서 [math]\displaystyle{ \triangle{APD}\sim\triangle{BPC} }[/math]이고, 따라서 [math]\displaystyle{ \overline{PA}:\overline{PD}=\overline{PB}:\overline{PC} }[/math]이다. 즉, 방멱의 정리가 성립하므로 점 [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]는 공원점이다.
4, 5. 방멱의 정리 참조.
6. 톨레미의 정리 참조.
7. 외접원의 정의이다.
8. 7번의 따름정리. 증명은 생략한다.
다각형[편집 | 원본 편집]
만약 점이 5개 이상이면 공원점임을 어떻게 보일까? 이 경우에는 먼저 외접원의 정의를 사용할 수 있다. 즉,
- 모든 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이 존재한다.
- 모든 변의 수직이등분선이 한 점에서 만난다.
이 두 개를 사용가능하다. 하지만 일반적으로 다각형에서 저 두개를 보이는 것은 굉장히 힘들다. 이 때는 "세 점을 지나는 외접원이 유일하다"라는 사실을 이용하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]가 공원점이고 동시에 [math]\displaystyle{ A,B,C,E }[/math]가 공원점이라고 하자. 두 묶음은 모두 점 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]를 포함하므로, 외접원이 유일하며, 따라서 [math]\displaystyle{ D,E }[/math]는 모두 [math]\displaystyle{ A,B,C }[/math]의 외접원에 같이 존재한다는 사실을 알 수 있다.