하이네-보렐 정리

틀:학술 해석학과 위상수학에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본적인 성질, 특히 적분가능성을 증명할 때 자주 사용된다.

진술

유클리드 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다:

[math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이다.

[math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하다.

단, 여기서의 '닫힘'은 보통의 위상(usual topology)에서를 말한다.

설명

이 정리는 유클리드 공간 [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math]에서의 컴팩트성의 필요충분조건을 알려준다. 이 정리 없이 컴팩트성을 증명하려면 모든 열린 덮개에 대한 전수 조사를 해야 하는데, 이 정리를 이용하면 닫힘과 유계임만 보이면 되기 때문이다.

이 정리에서 말하는 '닫힘'이란, 보통의 위상, 즉 usual topology에서의 닫힘을 말한다. 즉, 열린 공(open ball)들을 basis element로 하는 위상을 말한다. 이 정리는 위상에 의존하는데, 그 예를 들자면: 이산 위상(discrete topology)에서는 유한집합만이 컴팩트한 집합이기 때문이다. 또한, 이 정리는 유클리드 공간의 거리 함수(metric)에도 의존한다. 이 정리는 우리가 보통 사용하는 유클리드 거리를 가졌을 때만 성립하는데, 예를 들면: 보통의 거리, 즉 유클리드 거리를 [math]\displaystyle{ d }[/math]라고 할 때 새로운 거리 함수 [math]\displaystyle{ d' = d / (1+d) }[/math]는 거리 함수의 조건을 모두 만족하며, 모든 [math]\displaystyle{ \mathbb R^n }[/math]의 부분집합을 유계로 만든다. 하지만 [math]\displaystyle{ [0, \infty)\subset \mathbb R }[/math]는 유계이고 닫혀 있음(여집합 [math]\displaystyle{ (-\infty, 0) }[/math]이 열려 있다)에도 불구하고 컴팩트하지 않다.

어쨌든 이런 많은 제약이 있음에도 불구하고, 우리는 보통의 위상과 보통의 거리 함수를 이용하므로, 이 정리는 유클리드 공간에서 매우 유용하게 쓰인다. 특히 실해석학에서는 앞의 이론적인 배경을 쌓는 부분에 지겨울 정도로 보인다(...) 실수에서 닫힌 구간이 나오면 무조건 하이네-보렐 정리를 쓸 정도로...

증명

이하는 PMA에 소개된 증명을 따른다.

보조정리 1

[math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle은 컴팩트하다.

Proof. [math]\displaystyle{ I = \prod_{j=1}^k [a_j, b_j] }[/math]를 [math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle이라고 하고, 그 대각선 길이를 [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{\sum (b_j - a_j)^2 } }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \delta = \operatorname{diam}I }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 두 점의 거리는 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]보다 작거나 같다. 이제, 모순을 이끌어 내기 위해서 유한한 부분 덮개를 가지지 않는 어떤 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 열린 덮개 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]가 있다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 각 변을 절반씩 나누어 만들어지는 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math]개의 hyperrectangle 중에서 [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 hyperrectangle이 하나 이상 존재하는데, 이 중 하나를 [math]\displaystyle{ I_1 }[/math]이라고 하자. 이런 식으로, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]를 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] 개로 나눈 후 그 중 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 것을 [math]\displaystyle{ I_{n+1} }[/math]이라 하자. 그렇다면 집합들의 열 [math]\displaystyle{ \left \lt I_n \right\gt }[/math]은 [math]\displaystyle{ I_n \supseteq I_{n+1} }[/math]이고, 이 중 어느 것도 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않고, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]의 임의의 두 점 사이 거리는 [math]\displaystyle{ 2^{-n} \delta }[/math]보다 작을 수밖에 없다. [math]\displaystyle{ I_n = \prod_{j=1}^k [a_{n, j}, b_{n, j}] }[/math]라 두고 [math]\displaystyle{ \mathbf x \in \prod _j [\sup_n a_{n, j}, \inf_n b_{n, j}] \ne \emptyset }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \mathbf x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]는 열린 덮개이므로 어떤 [math]\displaystyle{ G_\alpha }[/math]에 포함되는 [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]의 열린 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]-ball이 있을 것이고, 아르키메데스 성질에 의하여 [math]\displaystyle{ 2^{-n}\delta \le \epsilon }[/math]인 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 그런데 이것은 [math]\displaystyle{ I_n \subset G_\alpha }[/math]를 뜻하는 것이므로 모순이다.

보조정리 2

컴팩트한 집합의 닫힌 부분집합은 컴팩트하다.

Proof. 컴팩트 집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 ([math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해) 닫힌 부분집합 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \{ V_\alpha \} }[/math]를 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 열린 덮개라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \{V_\alpha \} \cup \{ F^\mathrm c \} }[/math]은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 열린 덮개를 이룬다. 그런데 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하므로 [math]\displaystyle{ K }[/math]를 덮는 유한한 부분 덮개가 존재하고, 만약 그 부분 덮개에 [math]\displaystyle{ F^\mathrm c }[/math]가 있으면 제외시키자. 그러면 그것은 [math]\displaystyle{ \{ V_\alpha\} }[/math]의 부분 덮개가 된다.

보조정리 3

[math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하면 그 무한 부분집합은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 하나 이상 가진다. (사실 그 역도 성립한다.)

Proof. [math]\displaystyle{ K }[/math]의 무한 부분집합 [math]\displaystyle{ E }[/math] 안에 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점이 하나도 없으면, [math]\displaystyle{ q\in K }[/math]의 근방 [math]\displaystyle{ V_q }[/math]와 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 많아야 하나가 되게 할 수 있다. 그런데 이 [math]\displaystyle{ V_q }[/math]는 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 덮지 못하므로 [math]\displaystyle{ K }[/math] 역시 덮지 못하고, 이는 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 컴팩트성에 모순이다.

사실 이 정리(컴팩트성의 필요충분조건)를 볼차노-바이어슈트라스 정리라 부른다.

보조정리 4

[math]\displaystyle{ \mathbb R^k }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 임의의 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 무한 부분집합이 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 하나 이상 가지면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 닫혀 있고 유계이다.

Proof. 만약 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 유계가 아니라고 가정하면 [math]\displaystyle{ K }[/math]에서 [math]\displaystyle{ |\mathbf x_ n | \gt n }[/math]인 원소들을 가져와 점렬을 만들 수 있고, [math]\displaystyle{ \{\mathbf x_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math]은 극한점을 가지지 않으므로 모순이다.

만약 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있지 않다고 가정하면, [math]\displaystyle{ \mathbf x^* \in K' \setminus K }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \mathbf x_0 }[/math]가 극점이므로 [math]\displaystyle{ | \mathbf x_n - \mathbf x^* | \lt 1/n }[/math]인 [math]\displaystyle{ \left\lt \mathbf x_n\right\gt }[/math]가 존재하고, [math]\displaystyle{ \{\mathbf x_n \} }[/math]는 무한집합이며 [math]\displaystyle{ \mathbf x^* }[/math]만을 극한점으로 갖는다. 그런데 이 집합은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 포함하지 않으므로 모순이다.

본 정리의 증명

(충분조건) [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 컴팩트하다.

[math]\displaystyle{ K }[/math]가 유계이면 [math]\displaystyle{ K \subseteq I }[/math]인 hyperrectangle [math]\displaystyle{ I }[/math]가 존재하고, [math]\displaystyle{ K }[/math]는 컴팩트한 [math]\displaystyle{ I }[/math](보조정리 1)의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트하다(보조정리 2).

(필요조건) [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하면 닫혀 있고 유계이다.

보조정리 3과 보조정리 4에 의하여 증명된다.

이용

이 정리는 특히 실해석학 전반부에서 많이 이용된다. 컴팩트, 유계, 수렴, 연속 등의 성질이 모두 변화의 폭이 '충분히 작다'는 것으로 일맥상통한다. 컴팩트성하면 유한한 부분덮개로 덮일만큼 '작고', 유계이면 어떤 적당한 반지름의 공(ball)보다 '작고', 수렴한다는 것은 엡실론-델타 논법으로 정의되므로 임의의 엡실론보다도 '작고', 연속이라는 것도 함숫값 주위의 값이 함숫값으로 수렴하는 것이기 때문에 변동의 폭이 '작다'는 것을 의미한다. 또한 적분가능성 역시 수렴성의 일종으로 볼 수 있으므로 컴팩트가 좋은 성질을 준다. 그렇기 때문에 이와 관련된 성질에서는 컴팩트성이 많이 쓰인다. 컴팩트성은 이렇게 좋은 성질을 가지고 있는데, 안타깝게도 컴팩트성을 증명하는 것은 어렵다. 하지만 이 하이네-보렐 정리에 의하여 적어도 유클리드 공간에서는 닫힘과 유계임만 보이면 되니 꽤 잘 쓰일 수 있다는 것이다. 실해석학에서의 예를 들자면:

• 모든 [math]\displaystyle{ \mathbb R^k }[/math]의 닫히고 유계인 부분집합은 '컴팩트하므로' 완비이다.
• 어떤 함수가 실수의 닫힌 구간에서 연속이면 '컴팩트하므로' 균등연속이다. 즉 리만-스틸체스 적분이 가능하다. (모든 단조증가하는 integrator에 대해서)

일반화

위에서 서술했듯이 이 정리는 일반적인 거리 공간(또는 위상 벡터공간)에서는 성립하지 않는다. 어떤 거리 공간(또는 위상 벡터공간)이 하이네-보렐 성질을 가진다는 것은 모든 닫힌 유계 부분집합이 컴팩트하다는 것을 말하는데, 이 하이네-보렐 성질을 만족하는 공간은 극히 드물다. 예를 들어, 모든 완비성을 만족하지 않는 거리 공간은 이 성질을 가지지 못하며, 완비성을 가지더라도 무한 차원 바나흐 공간과 같은 경우에는 하이네-보렐 성질을 만족하지 못한다. 하지만 (아르첼라-아스콜리 정리에 의해) 컴팩트한 집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에서 정의된 매끄러운 함수들의 집합을 위상 벡터공간의 일종인 프레셰 공간으로 생각한다면, 이는 하이네-보렐 성질을 가진다. 일반적으로 핵형(nuclear) 프레셰 공간은 하이네-보렐 성질을 가진다. 위상공간의 경우에 컴팩트하면 하이네-보렐 성질을 만족한다.

어쨌든 이렇게 위에서 정의된 하이네-보렐 성질을 만족시키기는 꽤 어렵고, 하이네-보렐 정리는 유클리드 공간 아니면 안 되는 게 아-주 많다. 그래서 더 일반화된 하이네-보렐 정리가 있다:

어떤 거리 공간의 부분집합이 컴팩트한 것과, 그것이 완비이고 완전히 유계임은 동치이다.

이 일반화는 거리 공간이 아니더라도 위상 벡터공간이나, 균등공간에서도 성립한다.