적분

積分, Integration

개요

적분이라고 하면 당연히 정적분을 의미한다.(용어의 일반적인 용법이 그렇다는 것이 아니라 수학의 근본 정의가 그렇다는 것이다.) 부정적분은 정의 자체가 미분의 역연산으로, 뭔가 새로운 개념이 아니다.진짜 미분을 거꾸로 하는 거라니

이와 달리 고등학교에서는 부정적분을 먼저 소개하는데, 이는 정의 자체가 미분의 역연산인 부정적분을 먼저 내보임으로써 기호와 이름이 비슷한 정적분도 미분이랑 뭔가 관계가 있겠지 하고 쉽게 받아들이게 하기 위한 일종의 눈속임(?)으로 보인다.

교과과정에서 부정적분이 정적분 앞에 오는 것은 우리나라와 일본뿐이다. 이는 당연한게 우리나라에서 일본 교과서를 베꼈기 때문에(...) 부정적분을 정적분 앞에서 그것도 부정적분이라는 용어와 같은 기호[math]\displaystyle{ \int }[/math]까지 쓰며 가르치는 것은 수학의 본질보다 단순히 계산하는 법만 가르치는 것이다. 어떻게든 부정적분을 먼저 소개하고 싶다면 부정적분이라는 용어대신 원시함수라는 용어로서 소개하고 계산연습을 시키는 것이 맞다.

정적분은 (정의상으로는)미분과 하등의 관계가 없으며, 아래에서 언급할 여러 가지 방법으로 정의된다. 그런 적분과 미분이 서로 역연산인 관계에 있다니!!! 하는 뜨악한 정리가 바로 미적분학의 기본정리이다.

조금 자세히 들여다 보자면, 미적분학의 기본정리는 정적분을 통해 부정적분의 하나를 얻을 수 있다는 내용과 부정적분을 이용해 정적분을 계산할 수 있다는 내용의 두 부분으로 나눌 수 있다. 전자는 적분하고 미분하면 자기 자신이라는 것으로, 후자는 미분하고 적분하면 자기 자신이라는 것으로 이해할 수 있어 과연 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있게 된다. 책에 따라 전자는 미적분의 기본정리, 후자는 정적분의 기본정리라는 식으로 나누어 서술하기도 한다.

역사

도형의 넓이와 부피를 구하는 문제는 고대 이집트 시대부터 중요한 문제였는데, 케플러는 저서 '포도주통의 용적 측정'에서 한 축을 중심으로 원뿔곡선의 호를 회전시킨 도형 93개의 부피를 계산하는데 초기의 적분 개념을 이용하였다.

카빌리에리는 입체를 두께가 없는 평행한 면의 모임으로 생각하였으며 단면의 넓이를 비교하여 부피를 계산할 수 있었다. 이러한 방법을 '불가분량법(method of indivisibles)'이라고 하는데, 불가분량법은 그 당시 도형의 넓이나 부피를 구하는 데 널리 활용되었다.

뉴턴의 스승인 월리스는 논문 '무한의 수론(Arithemetica Infinitorum)'에서 데카르트와 카발리에리의 방법을 체계화하였다. 그는 [math]\displaystyle{ \int_{0}^{1} x^m \, dx = \frac{1}{m+1} }[/math]이 분수 m에 대해서도 성립함을 보였고, 곡선의 길이를 적분으로 구하는 식을 얻었다.

라이프니츠는 미적분에 대한 개념을 정립하면서 '미적분의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)'를 발견하였고 미적분에 대한 많은 정리를 증명하였다. 그는 라틴어 summa의 첫문자 S를 길게 늘린 현대의 적분기호 [math]\displaystyle{ \int }[/math]을 처음으로 사용하였다.

미적분학을 체계화한 리만은 적분 가능성을 정의함으로써 함수를 적분 할 수 있다는 것이 무엇을 뜻하는 지를 명확히 하였다. 함수의 그래프와 x축 사이의 넓이는 x축을 잘게 자른 후 소구간 위에서 그래프의 위쪽(또는 아래쪽)에 직사각형을 만들어 이들의 넓이를 더한 값의 하한(또는 상한)과 같다는 것이 리만 적분의 기본적인 발상이다. 따라서 함수가 리만 적분가능하려면 극히 작은 구간에서 함숫값의 변화가 작아야 하며 이는 결국 함수의 연속성과 연관이 있게 된다.

르벡 적분의 기본적인 발상은 x축을 잘게 자르는 대신 y축을 잘게 잘라 함숫값이 y축의 소구간에 속하는 정의역의 점들의 집합을 생각하고 이 집합의 크기에 y축 소구간의 최댓값(또는 최솟값)을 곱하여 모두 더함으로써 넓이를 구하는 것이다. 이와 같은 개념을 엄밀히 이해하기 위해서는 측도(measure) 개념이 필요하다. 그러나 르베그 적분은 피적분함수의 연속성에 구애받지 않으므로 리만 적분에 비하여 더 넓은 범위의 함수를 적분할 수 있으며 수학적으로 여러 가지 좋은 성질을 많이 가지고 있다.

리만적분

정의

리만합 (리만)

함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math]이 유계라 할 때, [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]의 임의의 분할 [math]\displaystyle{ P=\left\{ a = x_0 , x_1, \cdots , x_n = b \right\} }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \lVert P \rVert = \max \left\{ \Delta x_k =x_{k}-x_{k-1}| k=1,2, \cdots, n \right\} }[/math]라 할 때, 임의의 [math]\displaystyle{ t_k \in [x_{k-1},x_k] }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \displaystyle R(f,P)=\sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta x_k }[/math]를 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]의 분할 P에 대한 f의 리만합(Riemann sum)이라 한다.

이때 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{\lVert P \rVert \to 0}R(f,P) = \lim_{\lVert P \rVert \to 0} \sum_{k=1}^n f(t_k) \Delta x_k }[/math]의 극한이 존재하면 이를 리만 적분 가능(Riemann integrable)하다고 하고 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{\lVert P \rVert \to 0}R(f,P) = \int_{a}^{b} f(x)\, dx }[/math]로 표현한다.

또한 리만 적분 가능성은 다음의 정리로도 표현 가능하다.

“	Theorem. (리만의 정리) 유계함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 임의의 [math]\displaystyle{ \epsilon, \delta\gt 0 }[/math]에 대해 적당한 분할 [math]\displaystyle{ P }[/math]가 존재하여 [math]\displaystyle{ P }[/math]를 구성하는 소구간(성분) 중 거기서의 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]의 진폭(최댓값과 최솟값의 차) [math]\displaystyle{ \omega(f:[x_{k-1},x_k])=M_k-m_k }[/math]이 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]보다 크게 되는 구간의 길이의 총합이 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]보다 작아지는 것이다. 즉 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sum_{\begin{matrix}[x_{k-1}, x_k] \in \mathcal P\\ k \in K\end{matrix} }( x_k - x_{k-1})\lt \delta \; \; (K=\{k: \omega(f:[x_{k-1},x_k]) \gt \epsilon \}) }[/math] 과 리만 적분 가능성은 동치이다.	”

상적분과 하적분 (다르부)

함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math]이 유계라 할 때, [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]의 임의의 분할 [math]\displaystyle{ P=\left\{ a = x_0 , x_1, \cdots , x_n = b \right\} }[/math]에 대하여 P의 각 소구간 [math]\displaystyle{ I_k=[x_{k-1},x_k] }[/math]에 대하여

상합(파란 사각형)과 하합(빨간 사각형)

[math]\displaystyle{ M(f,I_k) = \sup \left\{ f(x)|x \in I_k \right\} , \ m(f,I_k) = \inf \left\{ f(x)|x \in I_k \right\} }[/math]

라고 둔다. 구간에서 최댓값이나 최솟값을 사용하지 않고, 상한이나 하한을 쓴 이유는 함수가 불연속이어도 적분은 가능할 수 있기 때문이다.

그리고 다음과 같이 정의된 두 실수

[math]\displaystyle{ \displaystyle U(f,P) = \sum_{k=1}^n M(f,I_k) \Delta x_k, \ L(f,P) = \sum_{k=1}^n m(f,I_k) \Delta x_k }[/math]

를 각각 분할 P에 대한 f의 리만 상합(upper Riemann sum), 리만 하합(lower Riemann sum)이라고 한다.

그리고 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]의 분할 전체의 집합을 [math]\displaystyle{ \mathcal{P}[a,b] }[/math]라 하자. 실수의 완비성 공리에 의하여 [math]\displaystyle{ \displaystyle \sup \left\{ L(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\}, \ \inf \left\{ U(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\} }[/math]는 존재하고 이때, [math]\displaystyle{ \displaystyle \inf \left\{ U(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\} =\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx }[/math]을 리만 상적분(upper Riemann intergral), [math]\displaystyle{ \displaystyle \sup \left\{ L(f,P) |P \in \mathcal{P}[a,b] \right\} = \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx }[/math]를 리만 하적분(lower Riemann integral)이라고 한다. 이 상적분과 하적분은 위에서 소개한 리만 적분 가능성과 연관이 있는데, 이는 다음의 정리로써 보장된다.

“	Theorem. (다르부의 정리) 구간 [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]에서 유계인 함수 [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ P_i (i\in\mathbb N) }[/math]을 분할이라 하자. 이때 [math]\displaystyle{ \| P_n \| \to 0 \text{ as } n\to\infty }[/math]가 되게 하자. 그렇다면 항상 [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} U(f,P_n)=\overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx }[/math] [math]\displaystyle{ \displaystyle \lim_{n\to \infty} L(f,P_n)=\underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx }[/math] 이다. 또한 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 구간 [math]\displaystyle{ [a, b] }[/math]에서 리만 적분 가능하기 위한 필요충분조건은 [math]\displaystyle{ \displaystyle \underline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx = \overline{\int_{a}^{b}} f(x) \, dx }[/math]이다.	”

차이

같은 분할에 대한 상합(파란 사각형)과 하합(빨간 사각형), 리만합(갈색 사각형)의 비교

상합, 하합과 리만합의 다른 점은 상합은 구간의 상한, 하합은 구간의 하한, 리만합은 구간의 임의의 점을 선택했기 때문에 정의상 [math]\displaystyle{ L(f,P) \leq R(f,P) \leq U(f,P) }[/math]가 된다. 어떠한 정의를 사용하든 간에 결론은 구간을 세밀하게 분할하면 할수록, 상합과 하합, 리만합의 차이는 작아지게 되며 결국에는 극한을 취한다면 그 값은 하나로 결정된다는 것이다. 그 값을 [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)\, dx }[/math]라 표현하겠다는 것이다.

미적분학의 기본 정리

이와 관련한 주제는 미적분학의 기본 정리에서 다룹니다.

FTC(fundamental theorem of calculus)

FTC 1 리만 적분 가능한 함수[math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math]가 한 점 [math]\displaystyle{ c(a\le c\le b) }[/math]에서 연속이면 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ \displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt }[/math]가 [math]\displaystyle{ c }[/math]점에서 미분 가능하며 [math]\displaystyle{ F'(c)=f(c) }[/math]이다. 또한 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 미분 가능성에 상관없이 [math]\displaystyle{ \displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(x)\, \mathrm dx }[/math]는 정의된 구간 전체에서 연속이다.

FTC 2 리만 적분 가능한 함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math]의 부정적분이 존재하면, [math]\displaystyle{ f }[/math]의 임의의 부정적분 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대하여 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=F(b)-F(a) }[/math]이다.

얼핏 보기에 두 정리에 차이가 없어 보일지 모르나, 자세히 보면 서로 다른 이야기를 하고 있다. FTC 1에서는 [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt }[/math]가 미분가능함을 증명할 수 있으나, FTC 2에서는 일반적으로 이 함수가 미분불가능하여 부정적분 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 존재도 따로 가정해야 한다. 그러나 피적분함수를 보면 FTC 1은 피적분함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 (미분계수를 구하려는 점에서의) 연속성으로 조건으로 두는 반면에 FTC 2는 연속성보다 훨씬 넓은 범위인 (리만) 적분 가능성만을 조건으로 두고 있다.

하지만 보통은 연속함수만을 다루고(연속함수는 모두 적분가능하다), 연속함수에 대해서는 FTC 2가 FTC 1의 따름정리 형태로 나오기 때문에 그러한 경우에는 굳이 구분하지 않고 둘을 뭉뚱그려 하나의 정리처럼 소개하는 경우도 있다. 특히 교과과정 상에서 더욱 그렇다. 즉, 아래와 같이 소개한다는 것이다.

FTC 연속함수 [math]\displaystyle{ f:[a,b] \to \mathbb{R} }[/math]는 원시함수 [math]\displaystyle{ F }[/math]를 가지고, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=F(b)-F(a) }[/math]이다. 만일 [math]\displaystyle{ G }[/math]도 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 원시함수이면, [math]\displaystyle{ \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm dx=G(b)-G(a) }[/math]이다.

물론 이렇게 배운 경우 나중에 문제 풀다가 [math]\displaystyle{ \displaystyle \left( \int_{a}^{x} f(t)\, \mathrm dt \right)' = f(x) }[/math]를 이용해야 할 때가 나오면 당연하게 여기면서도 이걸 언제 배웠지 하고 한번쯤 갸우뚱하게 되는 문제점(?)이 있다. 둘로 나누어 배운 경우 이는 FTC 1의 결론으로서 눈에 보이는데, 뭉뚱그려 배운 경우 이 내용은 증명 과정에만 나오고 명제 자체에서는 안 보이기 때문이다.

르벡 적분

리만이 사용한 적분의 정의는 극한에 대하여 좋지 않은 정의였다. 예를 들어 유리수에 대한 특성 함수(characteristic) [math]\displaystyle{ \chi_{\mathbb Q}(n)=1\text{ when }n \in \mathbb Q, \text{ } 0 \text{ otherwise} }[/math]는 어떤 작은 구간을 잡아도 그 변동(진폭)의 크기가 어느 정도 이하로 줄지 않기 때문에 리만 적분 불능이다. 르벡(Lebesgue)은 적분을 측도론을 이용하여 다시 정의했다. 리만 적분에서의 구간의 크기에 대응되는 값이다.

[math]\displaystyle{ (S,\mathfrak M, \mu) }[/math]를 측도공간이라 하자. 여기서 [math]\displaystyle{ \mathfrak M }[/math]은 시그마-대수, [math]\displaystyle{ \mu }[/math]는 측도이다. [math]\displaystyle{ \mathfrak{J} }[/math]를 [math]\displaystyle{ \mathfrak M }[/math]의 서로소인 유한 개의 집합으로 된 모임(collection)

[math]\displaystyle{ \mathfrak J = \{ A_i: i\in [i, p]\cap \mathbb N \} \subseteq \mathfrak M, \; A_i\cap A_j = \emptyset }[/math]

이라 하자. 또, 이것에 대하여

[math]\displaystyle{ \displaystyle f(A_i)=\inf \{ f(s): s\in A_i \} }[/math]

라 하고 다음의 합을 생각하자:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \Sigma_{\mathfrak J} f = \sum_{k=1}^p f(A_k)\mu(A_k). }[/math]

(측도론에서는 [math]\displaystyle{ 0\cdot\infty = 0 }[/math]으로 정의한다.) 또한 모든 [math]\displaystyle{ \mathfrak J }[/math]에 따른 [math]\displaystyle{ \Sigma_\mathfrak J }[/math]의 상한을 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 (르벡) 적분으로 정의한다:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f \, \mathrm d \mu = \sup \{ \Sigma_\mathfrak J f : \mathfrak J \}. }[/math]

이는 음 아닌 가측함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대한 정의이고, 일반적인 함수 [math]\displaystyle{ f }[/math]에 대하여는 위 정의를 이용하여 다음으로 정의한다:

[math]\displaystyle{ \displaystyle \int f \, \mathrm d \mu = \int f^+ \, \mathrm d \mu - \int f^- \, \mathrm d \mu . }[/math]

([math]\displaystyle{ f^+ = \max \{f, 0\}, \; f^- = - \min \{f, 0\} }[/math])

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• 미분

참고문헌

• 우정호 외, 고등학교 미적분 I 교사용 지도서, 두산동아, 2014
• 황선욱 외 10인, 고등학교 미적분 I 교사용 지도서, (주)좋은책신사고, 2015
• 정동명·조승제, 실해석학 개론, 경문사, 2004
• 변창호, Lebesgue 적분, 전남대학교출판부, 2007