하우스도르프 공간

정의

위상공간 X의 서로 다른 임의의 점 [math]\displaystyle{ a,b\in X }[/math]에 대해 서로소인 열린 집합 [math]\displaystyle{ U,V\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in U, b\in V }[/math]이면 X를 하우스도르프 공간(Hausdorff space), 또는 [math]\displaystyle{ T_2 }[/math] 공간이라고 한다.

예시

• 모든 거리공간은 하우스도르프 공간이다.

성질

• 하우스도르프 공간에서 수렴하는 점열의 극한값은 유일하다.

하우스도르프 공간 X에서 수렴하는 점열 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 서로 다른 극한값이 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 서로소인 [math]\displaystyle{ O_a,O_b\subseteq X }[/math]가 존재해 [math]\displaystyle{ a\in O_a , b\in O_b }[/math]이다. 그리고 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]이 수렴하므로 [math]\displaystyle{ N_a,N_b\in\mathbb{N} }[/math]이 존재하여 임의의 자연수 [math]\displaystyle{ n \gt N_a , n \gt N_b }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a , x_n \in O_b }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ n \gt \max\{N_a,N_b\} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ x_n \in O_a \cap O_b }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ O_a, O_b }[/math]가 서로소이므로 [math]\displaystyle{ O_a \cap O_b = \emptyset }[/math]이고, 원소가 공집합에 포함된다는 것은 모순이다. 따라서 [math]\displaystyle{ (x_n) }[/math]의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 위상적 성질이다.

위상공간 \(X\)가 하우스도르프 공간이고 \(Y\)가 위상공간이며, \(f:X\to Y\)는 위상동형사상이라고 하자. 그러면 임의의 \(y_1,y_2\in Y\)에 대해 \(f^{-1}\)이 존재하므로 \(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\in X\)가 존재한다. \(y_1\ne y_2\)이면 \(f^{-1}\)이 일대일 함수이기 때문에 \(f^{-1}(y_1)\ne f^{-1}(y_2)\)이므로 하우스도르프 공간의 정의에 의해 열린 집합 \(U,V\in X\)가 존재해 \(f^{-1}(y_1)\in U,f^{-1}(y_2)\in V\)이고 \(U \cap V=\emptyset\)이다. 그러면 \(y_1=f(f^{-1}(y_1))\in f(U)\)이고 \(y_2=f(f^{-1}(y_2))\in f(V)\)이다. \(f^{-1}\)이 연속이므로, \(f\)는 열린 사상이고 따라서 \(f(U),f(V)\)는 열린 집합이다. \(y'\in f(U)\cap f(V)\)인 \(y'\in Y\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(y'\in f(U)\)이고 \(y'\in f(V)\)이므로 \(y'=f(x_U),y'=f(x_V)\)인 \(x_U\in U, x_V\in V\)가 존재하고, \(U,V\)가 서로소이므로 \(x_U\ne x_V\)이다. 즉 \(f\)가 일대일 함수라는 것에 모순이므로 \(f(U)\cap f(V)=\emptyset\)이어야 한다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.

• 하우스도르프 공간이 되는 성질은 계승적 성질이다.