피타고라스 정리

개요

고대 그리스의 수학자인 피타고라스의 이름을 따서 지은 정리인 피타고라스 정리(Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem)는 유클리드 공간에서 직각삼각형에서 성립하는 정리를 담고 있다. 빗변의 길이를 [math]\displaystyle{ c }[/math]라고 하고, 다른 두 변의 길이를 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]라고 했을 때,

[math]\displaystyle{ \displaystyle{a^2 + b^2 = c^2} }[/math]

이 성립한다.

피타고라스가 활동하던 고대 그리스 시대 이전부터 이 정리는 잘 알려져 있었다. 다만, 피타고라스의 이름을 따 지은 것은, 기록상 피타고라스가 정리를 처음으로 증명했기 때문이다.

여담

피타고라스는 유리수만이 수의 전부라고 믿었다. 그런데, 피타고리스 학파의 한 학자가 짧은 두 변이 1이면 빗변의 길이가 [math]\displaystyle{ \sqrt{2} }[/math]인데, 이 수가 유리수가 아니냐는 것이었다. 이 말을 들은 피타고라스는 자신이 믿고 있는 이치에 맞지 않다고 여겨 그 학자를 죽였다는 이야기가 있다. 아 몰랑! 유리수 빼곤 다 수가 아니야!

피타고라스 수

자연수 중에서 피타고라스 정리를 만족하는 세 수를 피타고라스 수라고 한다. 즉, 직각삼각형을 만드는 자연수 길이의 세 쌍이다. 가장 작은 피타고라스 수는 [math]\displaystyle{ (3,4,5) }[/math]이다. 세 수는 다음과 같이 3개의 자연수로 유일하게 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ a = k \cdot (m^2 - n^2) , b = k \cdot (2mn) , c = k \cdot (m^2 + n^2) }[/math]

단, [math]\displaystyle{ n \lt m }[/math]이고, [math]\displaystyle{ m-n }[/math]가 홀수이며, [math]\displaystyle{ m,n }[/math]은 서로소이다.

다음은 몇가지 피타고라스 수를 나열한 것이다.

[math]\displaystyle{ (3, 4, 5), (11, 60, 61), (16, 63, 65) }[/math]

[math]\displaystyle{ (33, 56, 65), (5, 12, 13), (13, 84, 85) }[/math]

[math]\displaystyle{ (20, 21, 29), (39, 80, 89), (7, 24, 25) }[/math]

[math]\displaystyle{ (8, 15, 17), (28, 45, 53), (48, 55, 73) }[/math]

[math]\displaystyle{ (9, 40, 41), (12, 35, 37), (36, 77, 85), (65, 72, 97) }[/math]

이외에도 [math]\displaystyle{ (6, 8, 10), (9, 12, 15) }[/math]와 같이 피타고라스 수에 자연수를 곱해도 피타고라스 수이고, 원래 삼각형과 닮음이다.