너무나도 유명한 페르마의 마지막 정리에 기가 눌려서 그렇지 이쪽도 나름 유명한 정리이다. 1640년에 처음으로 발표되었다. 근데 증명을 안 해 놓은 건 똑같다. 아니 페르마의 성격상 정리 해 놓고 공개 안 한 걸지도 모른다 카더라. 원고 형식의 증명은 1683년경 빌헬름 라이프니츠에 의해서, 출판 형식의 증명은 1736년 레온하르트 오일러에 의해서 증명되었다. 정리의 내용은 다음과 같다.
- 소수 [math]\displaystyle{ p }[/math]와 양의 정수 [math]\displaystyle{ a }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \gcd\left(a,p\right)=1 }[/math] 이면 [math]\displaystyle{ a^{p-1}\equiv1\pmod p }[/math][1]
증명[편집 | 원본 편집]
집합 [math]\displaystyle{ A=\left\{a,2a,3a,\cdots,\left(p-1\right)a\right\} }[/math]을 생각하자. 먼저, 각 원소는 [math]\displaystyle{ p }[/math]로 나누어 떨어지지 않는다. 만약 적당한 정수 [math]\displaystyle{ 1\leq k\leq p-1 }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ p\mid ka }[/math]이면, [math]\displaystyle{ p\not\mid a }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ p\mid k }[/math]인데, 이는 모순이다. 또한, 어느 두 원소도 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대해 동일하지 않다. 만약 [math]\displaystyle{ ia\equiv ja\pmod p }[/math]이면, [math]\displaystyle{ \gcd\left(p,a\right)=1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ i\equiv j\pmod p }[/math]이고,[2] [math]\displaystyle{ 1\leq i,\,j\leq p-1 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ i=j }[/math]이어야만 한다. 따라서, 집합 [math]\displaystyle{ A }[/math]는 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 대한 완전잉여계이다. 이는 곧 [math]\displaystyle{ A\equiv\left\{1,2,3,\cdots,p-1\right\} }[/math]임을 의미한다 (순서까지 같을 필요는 없다). 따라서, [math]\displaystyle{ a\cdot2a\cdot\cdots\cdot\left(p-1\right)a\equiv1\cdot2\cdot\cdots\cdot\left(p-1\right)\equiv\left(p-1\right)!\pmod p }[/math]이고, 정리하면 [math]\displaystyle{ a^{p-1}\left(p-1\right)!\equiv\left(p-1\right)!\pmod p }[/math]이다. 윌슨의 정리에 의해 [math]\displaystyle{ -a^{p-1}\equiv-1\pmod p }[/math]이고, 곧 [math]\displaystyle{ a^{p-1}\equiv1\pmod p }[/math]이다.
페르마 소정리는 매우 다양한 방법으로 증명이 가능하다. 기약잉여계를 이용한 방법 뿐만아니라 합동식, 순환소수의 성질을 이용하여도 증명이 가능하다.
따름 정리[편집 | 원본 편집]
- [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수이고 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 양의 정수이면, [math]\displaystyle{ a^p\equiv a\pmod p }[/math]가 성립한다.
증명은 매우 간단한데, [math]\displaystyle{ p\mid a }[/math]이면 좌·우변 다 0이므로 동일, [math]\displaystyle{ p\not\mid a }[/math]이면 위 페르마의 소정리에 의해 바로 유도된다.
- [math]\displaystyle{ p }[/math]가 소수이고 [math]\displaystyle{ a }[/math]가 [math]\displaystyle{ p\not\mid a }[/math]인 양의 정수이면, [math]\displaystyle{ \bar{a}\equiv a^{p-2}\pmod p }[/math]이다 ([math]\displaystyle{ \bar{a} }[/math]는 [math]\displaystyle{ a }[/math]의 법 [math]\displaystyle{ p }[/math]에 관한 역수).
역시 페르마의 소정리에 의해 바로 유도된다.
일반화[편집 | 원본 편집]
페르마의 소정리를 일반화 시킨 것이 바로 오일러의 정리이다. 자세한 것은 항목 참조.