Angle measure of an arc
정의
호의 양 끝점과 원주 위의 다른 한 점을 이었을 때 생기는 두 현사이의 각을 그 호에 대한 원주각이라 부른다. 그리고 같은 호의 양 끝점과 원의 중심을 이었을 때 생기는 각을 중심각이라 부른다. 위 "angle measrue of an arc"은 정확히는 중심각을 부르는 말로, 원주각을 부르는 특별한 영어 단어는 없다.
성질
1. 원주각의 크기는 중심각의 크기의 절반.
2. 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다.
3. 한 원, 혹은 합동인 두 원에서 호의 길이가 같으면 원주각의 크기도 같다. 역으로 원주각의 크기가 같으면 호의 길이도 같다.
4. 원주각은 원 내부의 점을 이은 각보다는 작고, 원 외부의 점을 이은 각보다는 크다. 단, 두 점 모두 호를 기준으로 같은 쪽에 있어야 한다.
증명
1번 성질을 증명하면 2번 성질도 같이 증명된다. 1번 성질을 증명하기 위해선 3가지 경우를 모두 살펴봐야 한다.
i. 한 현이 반지름과 겹치는 경우: [math]\displaystyle{ \angle{ACB}=a,\angle{OAB}=b,\angle{OCB}=c }[/math]라 하자. 그럼 [math]\displaystyle{ \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \angle{OBA}=b, \angle{OBC}=c, \angle{OAC}=a+c }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ \angle{CBA}=b-c }[/math]이다. 그럼 [math]\displaystyle{ \triangle{ABC} }[/math]에서, [math]\displaystyle{ a+a+c+b+b-c=180^{\circ} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ 2a=180^{\circ}-2b }[/math]. 따라서, [math]\displaystyle{ \angle{AOB}=180^{\circ}-2b=2a=2\angle{ACB} }[/math].
ii. 두 현이 반지름과 겹치지 않는 경우: [math]\displaystyle{ \overline{CO} }[/math]의 연장선이 현 [math]\displaystyle{ \overline{AB} }[/math]와 만나는 점을 [math]\displaystyle{ D }[/math]라 하자. [math]\displaystyle{ \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \angle{OCA}=\angle{OAC},\angle{OCB}=\angle{OBC} }[/math]이다. 또한, [math]\displaystyle{ \angle{AOD}=2\angle{ACO},\angle{BOD}=2\angle{BCO} }[/math]이므로 (외각은 두 내각의 합) [math]\displaystyle{ \angle{AOB}=2\angle{ACO}+2\angle{BCO}=2\angle{ACB} }[/math]이다.
iii. 한 현이 지름인 경우: [math]\displaystyle{ \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC} }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ \angle{OCA}=\angle{OAC} }[/math]. 외각은 두 내각의 합이므로 [math]\displaystyle{ \triangle{OCA} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \angle{AOB}=2\angle{ACB} }[/math].
따라서 중심각은 원주각의 2배이다.
3. 호의 길이가 같으면 중심각의 크기가 같다. 1번 성질에서 중심각의 크기가 같으면 원주각의 크기가 같음을 알 수 있다. 역으로 원주각의 크기가 같으면 중심각의 크기가 같고, 중심각의 크기가 같으면 호의 길이가 같다. 자세한 것은 호 (수학) 참고.
4. 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같기 때문에, 세 점과 원의 중심이 공선점일 때만 증명하면 된다. [math]\displaystyle{ \angle{AEO}=\angle{ACE}+\angle{CAE} }[/math]라서 [math]\displaystyle{ \angle{AEO}\gt \angle{ACO} }[/math]이고, 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ \angle{ACO}\gt \angle{ADO} }[/math]이다. 반대쪽에서도 같은 방법으로 [math]\displaystyle{ \angle{BEO}\gt \angle{BCO}\gt \angle{BDO} }[/math]가 성립한다. 따라서 [math]\displaystyle{ \angle{AEB}\gt \angle{ACB}\gt \angle{ADB} }[/math]가 성립한다.