여유한위상: 두 판 사이의 차이

2019년 2월 11일 (월) 14:04 판

집합 [math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \mathcal{T}\subset \mathcal{P}(X) }[/math]를

[math]\displaystyle{ \mathcal{T}=\{\emptyset\}\cup \{O\subset X\mid X\setminus O\text{ is finite}\} }[/math]

로 정의하면 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다. 이때 [math]\displaystyle{ \mathcal{T} }[/math]를 여유한위상(cofinite topology, finite complement topology)이라고 한다.

증명

[math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]가 위상공간의 정의를 충족함을 보인다.

당연히 [math]\displaystyle{ \emptyset\in \mathcal{T} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ X\setminus X=\emptyset }[/math]은 유한집합이므로 [math]\displaystyle{ X\in\mathcal{T} }[/math]이다.
임의의 [math]\displaystyle{ O_\alpha \in \mathcal{T} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ \alpha\in I }[/math]이며 [math]\displaystyle{ I }[/math]는 첨자집합)에 대해, [math]\displaystyle{ X\setminus O_\alpha }[/math]는 유한집합이므로 드 모르간의 법칙에 의해 [math]\displaystyle{ X\setminus \bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha=\bigcap_{\alpha\in I}(X\setminus O_\alpha) }[/math]는 유한집합이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \bigcup_{\alpha\in I}O_\alpha\in\mathcal{T} }[/math]이다.
임의의 [math]\displaystyle{ O_i\in\mathcal{T} }[/math] (단, [math]\displaystyle{ i=1,\dots, n }[/math])에 대해, [math]\displaystyle{ X\setminus O_i }[/math]는 유한집합이므로 드 모르간의 법칙에 의해 [math]\displaystyle{ X\setminus \bigcap_{i=1}^n O_i =\bigcup_{i=1}^n (X\setminus O_i) }[/math]는 유한집합이다. 따라서 [math]\displaystyle{ \bigcap_{i=1}^n O_i \in\mathcal{T} }[/math]이다.

따라서 [math]\displaystyle{ (X,\mathcal{T}) }[/math]는 위상공간이다.

성질

[math]\displaystyle{ X }[/math]를 여유한위상이 부여된 위상공간이라고 하자.

[math]\displaystyle{ X }[/math]가 유한집합이면, 여유한위상은 이산위상이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]가 무한집합이면 [math]\displaystyle{ A\subset X }[/math]의 유도집합은 [math]\displaystyle{ A'=\begin{cases}\emptyset,&\text{$A$ is finite} \\X,&\text{$A$ is infinite} \end{cases} }[/math]이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]가 무한집합이면 [math]\displaystyle{ X }[/math]는 분리가능 공간이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]가 비가산집합이면 [math]\displaystyle{ X }[/math]는 제1가산공간이 아니다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분공간의 부분공간 위상은 여유한위상이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 부분공간은 콤팩트공간이다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]는 T₁ 공간이다. [math]\displaystyle{ X }[/math]의 임의의 T₁ 위상은 여유한위상을 포함한다.
[math]\displaystyle{ X }[/math]는 T₂ 공간이 아니다.

같이 보기

여가산위상

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 * <math>X</math>가 무한집합이면 <math>X</math>는 [[분리가능 공간]]이다.
 * <math>X</math>가 [[비가산집합]]이면 <math>X</math>는 [[제1가산공간]]이 아니다.
-* <math>X</math>의 임의의 부분공간의 [[부분공간 위상]]은 여유한위상공간이다.
+* <math>X</math>의 임의의 부분공간의 [[부분공간 위상]]은 여유한위상이다.
 * <math>X</math>의 임의의 부분공간은 [[콤팩트공간]]이다.
 * <math>X</math>는 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 공간]]이다. <math>X</math>의 임의의 T<sub>1</sub> 위상은 여유한위상을 포함한다.